Страница 178 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

723. Применяя теорему, обратную теореме Виета, решите уравнение:

1) $x^2 - 10x + 24 = 0;$

2) $x^2 + 6x + 8 = 0;$

3) $x^2 - 2x - 8 = 0;$

4) $x^2 + x - 12 = 0.$

Теорема, обратная теореме Виета, утверждает, что если для чисел $x_1$ и $x_2$ выполняются равенства $x_1 + x_2 = -p$ и $x_1 \cdot x_2 = q$, то эти числа являются корнями приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$.

1) $x^2 - 10x + 24 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение вида $x^2 + px + q = 0$, где $p = -10$ и $q = 24$.

Согласно теореме, обратной теореме Виета, мы ищем два числа, $x_1$ и $x_2$, для которых выполняются условия:

$x_1 + x_2 = -p = -(-10) = 10$

$x_1 \cdot x_2 = q = 24$

Нам нужно найти два числа, произведение которых равно 24, а сумма равна 10. Так как и произведение, и сумма положительны, оба корня должны быть положительными. Подберем пары целых множителей числа 24:

• $1 \cdot 24 = 24$, но $1 + 24 = 25 \ne 10$.
• $2 \cdot 12 = 24$, но $2 + 12 = 14 \ne 10$.
• $3 \cdot 8 = 24$, но $3 + 8 = 11 \ne 10$.
• $4 \cdot 6 = 24$ и $4 + 6 = 10$. Эта пара подходит.

Следовательно, корнями уравнения являются числа 4 и 6.

Ответ: 4; 6.

2) $x^2 + 6x + 8 = 0$

В данном уравнении коэффициенты $p = 6$ и $q = 8$.

Ищем корни $x_1$ и $x_2$ по условиям:

$x_1 + x_2 = -p = -6$

$x_1 \cdot x_2 = q = 8$

Произведение корней положительно ($+8$), а сумма отрицательна ($-6$). Это означает, что оба корня отрицательны. Будем подбирать пары отрицательных множителей числа 8:

• $(-1) \cdot (-8) = 8$, но $(-1) + (-8) = -9 \ne -6$.
• $(-2) \cdot (-4) = 8$ и $(-2) + (-4) = -6$. Эта пара подходит.

Таким образом, корни уравнения - это -2 и -4.

Ответ: -4; -2.

3) $x^2 - 2x - 8 = 0$

Здесь коэффициенты $p = -2$ и $q = -8$.

Найдем корни $x_1$ и $x_2$ по условиям:

$x_1 + x_2 = -p = -(-2) = 2$

$x_1 \cdot x_2 = q = -8$

Произведение корней отрицательно ($-8$), значит, корни имеют разные знаки. Сумма корней положительна ($+2$), значит, положительный корень по модулю больше отрицательного. Подберем множители числа -8:

• $(-1) \cdot 8 = -8$, но $(-1) + 8 = 7 \ne 2$.
• $(-2) \cdot 4 = -8$ и $(-2) + 4 = 2$. Эта пара подходит.

Следовательно, корнями уравнения являются числа -2 и 4.

Ответ: -2; 4.

4) $x^2 + x - 12 = 0$

В этом уравнении коэффициенты $p = 1$ и $q = -12$.

Ищем корни $x_1$ и $x_2$ по условиям:

$x_1 + x_2 = -p = -1$

$x_1 \cdot x_2 = q = -12$

Произведение корней отрицательно ($-12$), значит, у них разные знаки. Сумма корней отрицательна ($-1$), значит, отрицательный корень по модулю больше положительного. Подберем множители числа -12:

• $1 \cdot (-12) = -12$, но $1 + (-12) = -11 \ne -1$.
• $2 \cdot (-6) = -12$, но $2 + (-6) = -4 \ne -1$.
• $3 \cdot (-4) = -12$ и $3 + (-4) = -1$. Эта пара подходит.

Таким образом, корнями уравнения являются числа 3 и -4.

Ответ: -4; 3.

724. Какие из данных уравнений имеют два положительных корня, какие — два отрицательных, а какие — корни разных знаков:

1) $x^2 - 12x + 14 = 0;$

2) $x^2 + 6x - 42 = 0;$

3) $x^2 - 7x - 30 = 0;$

4) $x^2 + 16x + 10 = 0;$

5) $x^2 - 24x + 0,1 = 0;$

6) $x^2 + 20x + 3 = 0?$

Для определения знаков корней квадратных уравнений воспользуемся следствиями из теоремы Виета для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$. Согласно теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = -p$, а произведение корней $x_1 \cdot x_2 = q$.

Прежде всего, для существования двух действительных корней необходимо, чтобы дискриминант $D = p^2 - 4q$ был положителен ($D > 0$).

• Если свободный член $q > 0$, то корни имеют одинаковые знаки. Знак корней определяется по знаку коэффициента $p$:
  • Если $p < 0$, то сумма корней $-p$ положительна, следовательно, оба корня положительные.
  • Если $p > 0$, то сумма корней $-p$ отрицательна, следовательно, оба корня отрицательные.
• Если свободный член $q < 0$, то произведение корней отрицательно, а это возможно только если корни имеют разные знаки (один положительный, другой отрицательный). В этом случае дискриминант $D = p^2 - 4q$ всегда будет положительным, так как $p^2 \ge 0$ и $-4q > 0$.

Проанализируем каждое уравнение:

1) $x^2 - 12x + 14 = 0$
Здесь коэффициенты $p = -12$ и $q = 14$.
1. Проверим дискриминант: $D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14 = 144 - 56 = 88$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
2. Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = q = 14 > 0$, значит, корни имеют одинаковый знак.
3. Сумма корней $x_1 + x_2 = -p = -(-12) = 12 > 0$. Так как сумма положительна, оба корня положительные.
Ответ: два положительных корня.

2) $x^2 + 6x - 42 = 0$
Здесь $p = 6$ и $q = -42$.
Поскольку произведение корней $x_1 \cdot x_2 = q = -42 < 0$, корни имеют разные знаки.
Ответ: корни разных знаков.

3) $x^2 - 7x - 30 = 0$
Здесь $p = -7$ и $q = -30$.
Поскольку произведение корней $x_1 \cdot x_2 = q = -30 < 0$, корни имеют разные знаки.
Ответ: корни разных знаков.

4) $x^2 + 16x + 10 = 0$
Здесь $p = 16$ и $q = 10$.
1. Проверим дискриминант: $D = 16^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 256 - 40 = 216$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
2. Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = q = 10 > 0$, значит, корни имеют одинаковый знак.
3. Сумма корней $x_1 + x_2 = -p = -16 < 0$. Так как сумма отрицательна, оба корня отрицательные.
Ответ: два отрицательных корня.

5) $x^2 - 24x + 0,1 = 0$
Здесь $p = -24$ и $q = 0,1$.
1. Проверим дискриминант: $D = (-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0,1 = 576 - 0,4 = 575,6$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
2. Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = q = 0,1 > 0$, значит, корни имеют одинаковый знак.
3. Сумма корней $x_1 + x_2 = -p = -(-24) = 24 > 0$. Так как сумма положительна, оба корня положительные.
Ответ: два положительных корня.

6) $x^2 + 20x + 3 = 0$
Здесь $p = 20$ и $q = 3$.
1. Проверим дискриминант: $D = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 400 - 12 = 388$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
2. Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = q = 3 > 0$, значит, корни имеют одинаковый знак.
3. Сумма корней $x_1 + x_2 = -p = -20 < 0$. Так как сумма отрицательна, оба корня отрицательные.
Ответ: два отрицательных корня.

Итог:

• Два положительных корня имеют уравнения: 1), 5).
• Два отрицательных корня имеют уравнения: 4), 6).
• Корни разных знаков имеют уравнения: 2), 3).

725. Один из корней уравнения $x^2 - 10x + c = 0$ на 8 меньше другого. Найдите значение $c$ и корни уравнения.

Пусть корни заданного квадратного уравнения $x^2 - 10x + c = 0$ — это $x_1$ и $x_2$.

Согласно условию задачи, один корень на 8 меньше другого. Если мы обозначим больший корень как $x_2$, а меньший как $x_1$, то это условие можно записать в виде уравнения: $x_2 = x_1 + 8$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$. Теорема Виета устанавливает следующие соотношения между корнями и коэффициентами:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$

В нашем уравнении $x^2 - 10x + c = 0$ коэффициент $p = -10$, а свободный член $q = c$. Применим теорему Виета:
1) $x_1 + x_2 = -(-10) = 10$
2) $x_1 \cdot x_2 = c$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений для нахождения корней $x_1$ и $x_2$:
$x_1 + x_2 = 10$
$x_2 = x_1 + 8$

Для решения системы подставим выражение для $x_2$ из второго уравнения в первое:
$x_1 + (x_1 + 8) = 10$
$2x_1 + 8 = 10$
$2x_1 = 10 - 8$
$2x_1 = 2$
$x_1 = 1$

Теперь, зная значение $x_1$, найдем второй корень $x_2$:
$x_2 = x_1 + 8 = 1 + 8 = 9$.
Таким образом, корни уравнения — это 1 и 9.

Осталось найти значение коэффициента $c$. Для этого воспользуемся вторым соотношением из теоремы Виета:
$c = x_1 \cdot x_2$
Подставим найденные значения корней:
$c = 1 \cdot 9 = 9$.

Ответ: значение $c$ равно 9, корни уравнения — 1 и 9.

726. Корни уравнения $x^2 + 20x + a = 0$ относятся как 7 : 3. Найдите значение $a$ и корни уравнения.

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Виета. Дано квадратное уравнение $x^2 + 20x + a = 0$. Обозначим его корни как $x_1$ и $x_2$.

Согласно теореме Виета для приведенного квадратного уравнения ($x^2 + px + q = 0$):

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$

В нашем случае коэффициенты равны $p=20$ и $q=a$. Таким образом, для нашего уравнения справедливы следующие соотношения:

$x_1 + x_2 = -20$

$x_1 \cdot x_2 = a$

По условию задачи, корни относятся как $7:3$. Это значит, что мы можем выразить их через некоторую переменную $k$:

$x_1 = 7k$

$x_2 = 3k$

Теперь подставим эти выражения в уравнение для суммы корней:

$7k + 3k = -20$

$10k = -20$

Отсюда находим значение $k$:

$k = \frac{-20}{10} = -2$

Зная $k$, можем найти сами корни уравнения:

$x_1 = 7k = 7 \cdot (-2) = -14$

$x_2 = 3k = 3 \cdot (-2) = -6$

Далее, чтобы найти значение $a$, подставим найденные корни в уравнение для произведения корней:

$a = x_1 \cdot x_2 = (-14) \cdot (-6)$

$a = 84$

Итак, мы нашли значение параметра $a$ и оба корня уравнения.

Ответ: $a=84$, корни уравнения: $-14$ и $-6$.

727. Корни $x_1$ и $x_2$ уравнения $x^2 - 7x + m = 0$ удовлетворяют условию

$2x_1 - 5x_2 = 28$. Найдите корни уравнения и значение $m$.

Дано квадратное уравнение $x^2 - 7x + m = 0$ и условие, которому удовлетворяют его корни $x_1$ и $x_2$: $2x_1 - 5x_2 = 28$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ справедливы следующие соотношения для корней:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$

В нашем уравнении $x^2 - 7x + m = 0$ коэффициенты равны $p = -7$ и $q = m$. Применим теорему Виета:

1. $x_1 + x_2 = -(-7) = 7$
2. $x_1 \cdot x_2 = m$

Теперь мы имеем систему из двух линейных уравнений с двумя переменными $x_1$ и $x_2$:

$ \begin{cases} x_1 + x_2 = 7 \\ 2x_1 - 5x_2 = 28 \end{cases} $

Выразим $x_1$ из первого уравнения системы: $x_1 = 7 - x_2$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$2(7 - x_2) - 5x_2 = 28$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $x_2$:

$14 - 2x_2 - 5x_2 = 28$

$14 - 7x_2 = 28$

$-7x_2 = 28 - 14$

$-7x_2 = 14$

$x_2 = \frac{14}{-7}$

$x_2 = -2$

Теперь найдем значение $x_1$, подставив найденное значение $x_2$ в выражение $x_1 = 7 - x_2$:

$x_1 = 7 - (-2)$

$x_1 = 7 + 2$

$x_1 = 9$

Таким образом, мы нашли корни уравнения: $x_1 = 9$ и $x_2 = -2$.

Для нахождения значения $m$ воспользуемся вторым соотношением из теоремы Виета: $x_1 \cdot x_2 = m$.

Подставим найденные значения корней:

$m = 9 \cdot (-2)$

$m = -18$

Ответ: корни уравнения равны $9$ и $-2$; значение $m = -18$.

728. Корни $x_1$ и $x_2$ уравнения $x^2 + 4x + n = 0$ удовлетворяют условию

$3x_1 - x_2 = 8$. Найдите корни уравнения и значение $n$.

Дано квадратное уравнение $x^2 + 4x + n = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$. Известно, что корни удовлетворяют условию $3x_1 - x_2 = 8$. Необходимо найти корни уравнения и значение параметра $n$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ теорема Виета устанавливает следующие соотношения между корнями:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$

В нашем уравнении $x^2 + 4x + n = 0$ коэффициенты равны $p=4$ и $q=n$. Следовательно, по теореме Виета имеем:
$x_1 + x_2 = -4$
$x_1 \cdot x_2 = n$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений для нахождения корней $x_1$ и $x_2$:
$ \begin{cases} x_1 + x_2 = -4 \\ 3x_1 - x_2 = 8 \end{cases} $

Сложим два уравнения системы, чтобы исключить $x_2$:
$(x_1 + x_2) + (3x_1 - x_2) = -4 + 8$
$4x_1 = 4$
$x_1 = 1$

Теперь, зная $x_1$, найдем $x_2$, подставив значение $x_1=1$ в первое уравнение системы:
$1 + x_2 = -4$
$x_2 = -4 - 1$
$x_2 = -5$

Таким образом, мы нашли корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = -5$.

Осталось найти значение $n$. Для этого воспользуемся вторым соотношением из теоремы Виета:
$n = x_1 \cdot x_2$
Подставим найденные значения корней:
$n = 1 \cdot (-5)$
$n = -5$

Ответ: Корни уравнения равны $1$ и $-5$; значение $n = -5$.

729. Найдите, пользуясь теоремой, обратной теореме Виета, корни уравнения:

1) $2x^2 - 5x + 3 = 0;$

2) $2x^2 + 5x + 3 = 0;$

3) $16x^2 - 23x + 7 = 0;$

4) $-8x^2 - 19x + 27 = 0.$

Теорема, обратная теореме Виета, для приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$ утверждает, что если числа $x_1$ и $x_2$ таковы, что $x_1 + x_2 = -p$ и $x_1 \cdot x_2 = q$, то они являются корнями этого уравнения. Для общего случая $ax^2 + bx + c = 0$ эти соотношения принимают вид: $x_1 + x_2 = -b/a$ и $x_1 \cdot x_2 = c/a$. Будем использовать эти формулы для подбора корней.

1) $2x^2 - 5x + 3 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=2$, $b=-5$, $c=3$.

Согласно теореме, обратной теореме Виета, для корней $x_1$ и $x_2$ должны выполняться равенства:

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-5}{2} = \frac{5}{2}$

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{3}{2}$

Нам необходимо найти два числа, сумма которых равна $\frac{5}{2}$, а произведение — $\frac{3}{2}$. Поскольку и сумма, и произведение положительны, оба корня должны быть положительными. Попробуем найти корни методом подбора. Рассмотрим множители числа $\frac{3}{2}$. Это могут быть, например, числа $1$ и $\frac{3}{2}$.

Проверим их сумму: $1 + \frac{3}{2} = \frac{2}{2} + \frac{3}{2} = \frac{5}{2}$.

Оба условия выполняются, следовательно, эти числа и являются корнями уравнения.

Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = \frac{3}{2}$.

2) $2x^2 + 5x + 3 = 0$

В этом уравнении коэффициенты: $a=2$, $b=5$, $c=3$.

Условия для корней $x_1$ и $x_2$:

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{5}{2}$

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{3}{2}$

Произведение корней положительно ($\frac{3}{2}$), а их сумма отрицательна ($-\frac{5}{2}$). Это означает, что оба корня отрицательны. Будем искать их среди отрицательных множителей числа $\frac{3}{2}$. Возьмем числа $-1$ и $-\frac{3}{2}$.

Проверим их произведение: $(-1) \cdot (-\frac{3}{2}) = \frac{3}{2}$.

Проверим их сумму: $-1 + (-\frac{3}{2}) = -\frac{2}{2} - \frac{3}{2} = -\frac{5}{2}$.

Оба условия выполняются, значит, мы нашли корни.

Ответ: $x_1 = -1$, $x_2 = -\frac{3}{2}$.

3) $16x^2 - 23x + 7 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a=16$, $b=-23$, $c=7$.

Условия для корней $x_1$ и $x_2$:

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-23}{16} = \frac{23}{16}$

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{7}{16}$

Сумма и произведение корней положительны, значит, оба корня положительны. Искать корни в виде целых чисел нецелесообразно, так как их произведение — дробь. Один из самых простых способов подобрать такие корни — предположить, что один из корней равен 1.

Пусть $x_1 = 1$. Тогда из второго условия найдем $x_2$:

$1 \cdot x_2 = \frac{7}{16} \Rightarrow x_2 = \frac{7}{16}$

Теперь проверим, выполняется ли первое условие для суммы найденных чисел:

$x_1 + x_2 = 1 + \frac{7}{16} = \frac{16}{16} + \frac{7}{16} = \frac{23}{16}$.

Условие для суммы выполняется. Таким образом, корни найдены верно.

Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = \frac{7}{16}$.

4) $-8x^2 - 19x + 27 = 0$

Для удобства расчетов умножим все члены уравнения на $-1$, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным. Корни уравнения от этого не изменятся.

$8x^2 + 19x - 27 = 0$

Коэффициенты полученного уравнения: $a=8$, $b=19$, $c=-27$.

Условия для корней $x_1$ и $x_2$:

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{19}{8}$

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = -\frac{27}{8}$

Произведение корней отрицательно, значит, корни имеют разные знаки. Попробуем снова предположить, что один из корней равен 1.

Пусть $x_1 = 1$. Найдем $x_2$ из условия для произведения:

$1 \cdot x_2 = -\frac{27}{8} \Rightarrow x_2 = -\frac{27}{8}$

Проверим условие для суммы:

$x_1 + x_2 = 1 + (-\frac{27}{8}) = \frac{8}{8} - \frac{27}{8} = -\frac{19}{8}$.

Условие для суммы выполняется, следовательно, корни найдены правильно.

Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = -\frac{27}{8}$.

730. Найдите, пользуясь теоремой, обратной теореме Виета, корни уравнения:

1) $7x^2 + 11x - 18 = 0$;

2) $9x^2 - 5x - 4 = 0$.

1) $7x^2 + 11x - 18 = 0$

Теорема, обратная теореме Виета, гласит, что если существуют два числа $x_1$ и $x_2$, сумма которых равна $-\frac{b}{a}$, а произведение равно $\frac{c}{a}$, то эти числа являются корнями квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

В нашем уравнении коэффициенты равны: $a = 7$, $b = 11$, $c = -18$. Следовательно, мы ищем корни $x_1$ и $x_2$, удовлетворяющие системе уравнений:

$\begin{cases} x_1 + x_2 = -\frac{11}{7} \\ x_1 \cdot x_2 = \frac{-18}{7} \end{cases}$

Заметим, что сумма коэффициентов уравнения $a + b + c = 7 + 11 - 18 = 0$. Это особое свойство квадратных уравнений означает, что один из корней равен 1. Пусть $x_1 = 1$.

Подставим это значение во второе уравнение системы, чтобы найти второй корень $x_2$:

$1 \cdot x_2 = -\frac{18}{7}$

$x_2 = -\frac{18}{7}$

Теперь необходимо проверить, удовлетворяет ли найденная пара корней $x_1 = 1$ и $x_2 = -\frac{18}{7}$ первому уравнению системы (условию для суммы):

$x_1 + x_2 = 1 + (-\frac{18}{7}) = \frac{7}{7} - \frac{18}{7} = -\frac{11}{7}$

Полученное значение совпадает с требуемым. Так как оба условия теоремы, обратной теореме Виета, выполняются, то числа 1 и $-\frac{18}{7}$ являются корнями данного уравнения.

Ответ: $1; -\frac{18}{7}$.

2) $9x^2 - 5x - 4 = 0$

Для данного уравнения коэффициенты равны: $a = 9$, $b = -5$, $c = -4$.

Согласно теореме, обратной теореме Виета, мы ищем два числа $x_1$ и $x_2$, которые удовлетворяют системе уравнений:

$\begin{cases} x_1 + x_2 = - \frac{-5}{9} = \frac{5}{9} \\ x_1 \cdot x_2 = \frac{-4}{9} = -\frac{4}{9} \end{cases}$

Проверим сумму коэффициентов уравнения: $a + b + c = 9 + (-5) + (-4) = 9 - 9 = 0$. Следовательно, один из корней равен 1. Пусть $x_1 = 1$.

Подставим $x_1 = 1$ во второе уравнение системы (для произведения корней), чтобы найти $x_2$:

$1 \cdot x_2 = -\frac{4}{9}$

$x_2 = -\frac{4}{9}$

Проверим, выполняется ли для найденной пары корней $x_1 = 1$ и $x_2 = -\frac{4}{9}$ первое уравнение системы (условие для суммы корней):

$x_1 + x_2 = 1 + (-\frac{4}{9}) = \frac{9}{9} - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$

Полученное значение совпадает с требуемым значением $-\frac{b}{a}$. Следовательно, по теореме, обратной теореме Виета, числа 1 и $-\frac{4}{9}$ являются корнями исходного уравнения.

Ответ: $1; -\frac{4}{9}$.

731. Известно, что $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2 - 9x + 6 = 0$. Не решая уравнение, найдите значение выражения:

1) $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$;

2) $x_1^2 + x_2^2$;

3) $(x_1 - x_2)^2$;

4) $x_1^3 + x_2^3$.

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$
• Произведение корней: $x_1 x_2 = q$

В нашем уравнении $x^2 - 9x + 6 = 0$ коэффициенты равны $p = -9$ и $q = 6$. Следовательно:

$x_1 + x_2 = -(-9) = 9$

$x_1 x_2 = 6$

Теперь, используя эти значения, найдем значения требуемых выражений.

1) $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_2}{x_1x_2} + \frac{x_1}{x_1x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1x_2}$

Подставим известные значения суммы и произведения корней:

$\frac{x_1 + x_2}{x_1x_2} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} = 1.5$

Ответ: $1.5$

2) $x_1^2 + x_2^2$

Выразим сумму квадратов корней через их сумму и произведение. Воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$

Отсюда:

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$

Подставим известные значения:

$x_1^2 + x_2^2 = (9)^2 - 2 \cdot 6 = 81 - 12 = 69$

Ответ: $69$

3) $(x_1 - x_2)^2$

Раскроем скобки по формуле квадрата разности:

$(x_1 - x_2)^2 = x_1^2 - 2x_1x_2 + x_2^2 = (x_1^2 + x_2^2) - 2x_1x_2$

Мы уже нашли значение $x_1^2 + x_2^2$ в предыдущем пункте. Оно равно 69.

$(x_1 - x_2)^2 = 69 - 2 \cdot 6 = 69 - 12 = 57$

Альтернативный способ:

Можно использовать тождество $(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$.

$(x_1 - x_2)^2 = 9^2 - 4 \cdot 6 = 81 - 24 = 57$

Ответ: $57$

4) $x_1^3 + x_2^3$

Воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.

$x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)(x_1^2 - x_1x_2 + x_2^2) = (x_1 + x_2)((x_1^2 + x_2^2) - x_1x_2)$

Подставим значения, найденные ранее ($x_1+x_2=9$, $x_1^2+x_2^2=69$, $x_1x_2=6$):

$x_1^3 + x_2^3 = 9 \cdot (69 - 6) = 9 \cdot 63 = 567$

Альтернативный способ:

Можно использовать тождество $x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1 + x_2)$.

$x_1^3 + x_2^3 = 9^3 - 3 \cdot 6 \cdot 9 = 729 - 162 = 567$

Ответ: $567$

732. Известно, что $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2 + 5x - 16 = 0$. Не решая уравнение, найдите значение выражения:

1) $x_1^2x_2 + x_2^2x_1$;

2) $\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2}$;

3) $|x_2 - x_1|$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$, корнями которого являются $x_1$ и $x_2$, справедливы следующие соотношения:

$x_1 + x_2 = -p$

$x_1 \cdot x_2 = q$

В заданном уравнении $x^2 + 5x - 16 = 0$ коэффициенты равны $p=5$ и $q=-16$.

Следовательно, сумма и произведение корней этого уравнения равны:

$x_1 + x_2 = -5$

$x_1 \cdot x_2 = -16$

Теперь, не находя сами корни, мы можем вычислить значения требуемых выражений.

1) $x_1^2x_2 + x_2^2x_1$

Для начала преобразуем выражение, вынеся за скобки общий множитель $x_1x_2$:

$x_1^2x_2 + x_2^2x_1 = x_1x_2(x_1 + x_2)$

Теперь подставим в полученное выражение известные нам значения суммы и произведения корней:

$x_1x_2(x_1 + x_2) = (-16) \cdot (-5) = 80$

Ответ: $80$.

2) $\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2}$

Приведем дроби к общему знаменателю, которым является произведение $x_1x_2$:

$\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2} = \frac{x_2 \cdot x_2 + x_1 \cdot x_1}{x_1x_2} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1x_2}$

Знаменатель $x_1x_2$ нам известен. Числитель $x_1^2 + x_2^2$ (сумма квадратов корней) можно выразить через сумму и произведение корней, используя формулу квадрата суммы: $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$. Отсюда получаем:

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$

Подставим известные значения:

$x_1^2 + x_2^2 = (-5)^2 - 2 \cdot (-16) = 25 + 32 = 57$

Теперь можем вычислить значение всего выражения:

$\frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1x_2} = \frac{57}{-16} = -\frac{57}{16}$

Ответ: $-\frac{57}{16}$.

3) $|x_2 - x_1|$

Модуль разности корней удобно находить через квадрат этой разности, так как $|x_2 - x_1| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2}$. Выразим квадрат разности через сумму и произведение корней:

$(x_2 - x_1)^2 = x_2^2 - 2x_1x_2 + x_1^2 = (x_1^2 + x_2^2) - 2x_1x_2$

Из предыдущего пункта мы знаем, что $x_1^2 + x_2^2 = 57$. Подставим это значение:

$(x_2 - x_1)^2 = 57 - 2 \cdot (-16) = 57 + 32 = 89$

Можно также использовать другую полезную формулу: $(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$.

$(x_2 - x_1)^2 = (-5)^2 - 4 \cdot (-16) = 25 + 64 = 89$

Теперь, чтобы найти модуль разности, извлечем квадратный корень из полученного значения:

$|x_2 - x_1| = \sqrt{89}$

Ответ: $\sqrt{89}$.

733. Составьте квадратное уравнение, корни которого на 2 меньше соответствующих корней уравнения $x^2 + 8x - 3 = 0$.

Для решения данной задачи можно использовать два способа.

Способ 1: Через теорему Виета

Исходное квадратное уравнение: $x^2 + 8x - 3 = 0$. Обозначим его корни как $x_1$ и $x_2$.

Согласно теореме Виета для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$, справедливы следующие соотношения:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p = -8$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q = -3$.

По условию задачи, корни нового уравнения, которые мы обозначим как $y_1$ и $y_2$, на 2 меньше соответствующих корней исходного уравнения. Это означает, что $y_1 = x_1 - 2$ и $y_2 = x_2 - 2$.

Теперь найдем сумму и произведение новых корней:

Сумма новых корней: $y_1 + y_2 = (x_1 - 2) + (x_2 - 2) = (x_1 + x_2) - 4$.

Подставим известное значение суммы $x_1 + x_2 = -8$:

$y_1 + y_2 = -8 - 4 = -12$.

Произведение новых корней: $y_1 \cdot y_2 = (x_1 - 2)(x_2 - 2) = x_1x_2 - 2x_1 - 2x_2 + 4 = x_1x_2 - 2(x_1 + x_2) + 4$.

Подставим известные значения произведения $x_1 \cdot x_2 = -3$ и суммы $x_1 + x_2 = -8$:

$y_1 \cdot y_2 = -3 - 2(-8) + 4 = -3 + 16 + 4 = 17$.

Зная сумму и произведение корней, можно составить искомое квадратное уравнение, используя обратную теорему Виета: $y^2 - (y_1+y_2)y + y_1y_2 = 0$.

Подставив наши значения, получаем:

$y^2 - (-12)y + 17 = 0$

$y^2 + 12y + 17 = 0$

Заменив переменную $y$ на общепринятую $x$, получаем итоговое уравнение.

Ответ: $x^2 + 12x + 17 = 0$.

Способ 2: Через замену переменной

Пусть $x$ — корень исходного уравнения $x^2 + 8x - 3 = 0$.

Пусть $y$ — корень искомого уравнения. По условию задачи, корень нового уравнения на 2 меньше корня исходного, то есть $y = x - 2$.

Из этого соотношения выразим $x$ через $y$: $x = y + 2$.

Теперь подставим это выражение для $x$ в исходное уравнение:

$(y + 2)^2 + 8(y + 2) - 3 = 0$

Далее раскроем скобки и упростим полученное выражение:

$(y^2 + 4y + 4) + (8y + 16) - 3 = 0$

$y^2 + 4y + 4 + 8y + 16 - 3 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$y^2 + (4y + 8y) + (4 + 16 - 3) = 0$

$y^2 + 12y + 17 = 0$

Мы получили искомое квадратное уравнение для переменной $y$. Для стандартной записи заменим $y$ на $x$.

Ответ: $x^2 + 12x + 17 = 0$.

734. Составьте квадратное уравнение, корни которого на 3 больше соответствующих корней уравнения $x^2 - 12x + 4 = 0.$

Пусть дано уравнение $x^2 - 12x + 4 = 0$. Обозначим его корни как $x_1$ и $x_2$. Согласно теореме Виета для приведенного квадратного уравнения, сумма и произведение корней определяются следующим образом:
$x_1 + x_2 = -(-12) = 12$
$x_1 \cdot x_2 = 4$

По условию, корни искомого квадратного уравнения, назовем их $y_1$ и $y_2$, на 3 больше соответствующих корней исходного уравнения. Таким образом, мы имеем:
$y_1 = x_1 + 3$
$y_2 = x_2 + 3$

Чтобы составить новое уравнение, найдем сумму и произведение его корней $y_1$ и $y_2$.
Сумма новых корней: $y_1 + y_2 = (x_1 + 3) + (x_2 + 3) = (x_1 + x_2) + 6$. Подставив известное значение $x_1 + x_2 = 12$, получаем $12 + 6 = 18$.
Произведение новых корней: $y_1 \cdot y_2 = (x_1 + 3)(x_2 + 3) = x_1x_2 + 3(x_1 + x_2) + 9$. Подставив известные значения $x_1x_2 = 4$ и $x_1 + x_2 = 12$, получаем $4 + 3 \cdot 12 + 9 = 4 + 36 + 9 = 49$.

Используя обратную теорему Виета, мы можем составить приведенное квадратное уравнение вида $y^2 - (y_1+y_2)y + (y_1 \cdot y_2) = 0$. Подставляя найденные значения суммы (18) и произведения (49) и используя стандартную переменную $x$, получаем искомое уравнение.

Ответ: $x^2 - 18x + 49 = 0$.

ствующих корней уравнения $x^2 - 12x + 1 = 0$.

735. Составьте квадратное уравнение, корни которого в 3 раза меньше соответствующих корней уравнения $2x^2 - 14x + 9 = 0$.

Пусть исходное квадратное уравнение $2x^2 - 14x + 9 = 0$ имеет корни $x_1$ и $x_2$.

Требуется составить новое квадратное уравнение, корни которого, обозначим их $y_1$ и $y_2$, в 3 раза меньше соответствующих корней исходного уравнения. Это означает, что $y_1 = \frac{x_1}{3}$ и $y_2 = \frac{x_2}{3}$.

Для решения этой задачи можно использовать метод замены переменной. Если $y$ является корнем нового уравнения, то он связан с корнем $x$ исходного уравнения соотношением $y = \frac{x}{3}$.

Из этого соотношения выразим $x$: $x = 3y$.

Теперь подставим это выражение для $x$ в исходное уравнение $2x^2 - 14x + 9 = 0$:$2(3y)^2 - 14(3y) + 9 = 0$

Выполним алгебраические преобразования, чтобы упростить уравнение:$2(9y^2) - 42y + 9 = 0$$18y^2 - 42y + 9 = 0$

Полученное уравнение является искомым. Для приведения его к более простому виду с целочисленными коэффициентами, разделим все его члены на их наибольший общий делитель, который равен 3:$\frac{18y^2}{3} - \frac{42y}{3} + \frac{9}{3} = \frac{0}{3}$$6y^2 - 14y + 3 = 0$

По традиции, в итоговом уравнении переменную обозначают как $x$. Таким образом, искомое квадратное уравнение имеет вид $6x^2 - 14x + 3 = 0$.

Ответ: $6x^2 - 14x + 3 = 0$

736. Составьте квадратное уравнение, корни которого в 2 раза больше соответствующих корней уравнения $2x^2 - 15x + 4 = 0$.

Чтобы составить требуемое квадратное уравнение, можно воспользоваться двумя основными способами.

Рассмотрим исходное квадратное уравнение $2x^2 - 15x + 4 = 0$.
Пусть его корни – это $x_1$ и $x_2$. Согласно теореме Виета для квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$, сумма и произведение его корней вычисляются по формулам:
$x_1 + x_2 = -b/a$
$x_1 \cdot x_2 = c/a$
В нашем случае коэффициенты равны: $a=2$, $b=-15$, $c=4$.
Найдем сумму и произведение корней исходного уравнения:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-15)/2 = 15/2$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 4/2 = 2$.

Теперь рассмотрим новое квадратное уравнение. Пусть его корни – $y_1$ и $y_2$. По условию задачи, они в 2 раза больше соответствующих корней исходного уравнения:
$y_1 = 2x_1$
$y_2 = 2x_2$

Найдем сумму и произведение новых корней, выразив их через сумму и произведение старых корней:
Сумма новых корней: $y_1 + y_2 = 2x_1 + 2x_2 = 2(x_1 + x_2) = 2 \cdot (15/2) = 15$.
Произведение новых корней: $y_1 \cdot y_2 = (2x_1)(2x_2) = 4(x_1 \cdot x_2) = 4 \cdot 2 = 8$.

По обратной теореме Виета, если известны сумма $S$ и произведение $P$ корней, то приведенное квадратное уравнение (где коэффициент при старшей степени равен 1) можно составить по формуле $y^2 - Sy + P = 0$.
Подставим найденные значения $S = 15$ и $P = 8$:
$y^2 - 15y + 8 = 0$.
Обычно уравнение записывают с переменной $x$.
Ответ: $x^2 - 15x + 8 = 0$.

Пусть $x$ – это корень исходного уравнения $2x^2 - 15x + 4 = 0$.
Мы ищем новое уравнение для переменной $y$, корень которого в 2 раза больше, то есть $y = 2x$.
Из этого соотношения можно выразить $x$ через $y$: $x = y/2$.

Теперь подставим это выражение для $x$ в исходное уравнение. Так как $x$ является его корнем, то равенство будет верным. Новое уравнение будет зависеть от $y$.
$2(y/2)^2 - 15(y/2) + 4 = 0$
Упростим полученное выражение:
$2(y^2/4) - 15y/2 + 4 = 0$
$y^2/2 - 15y/2 + 4 = 0$

Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части уравнения на 2:
$2 \cdot (y^2/2) - 2 \cdot (15y/2) + 2 \cdot 4 = 2 \cdot 0$
$y^2 - 15y + 8 = 0$
Мы получили искомое уравнение. Заменив переменную $y$ на $x$, получим финальный вид.
Ответ: $x^2 - 15x + 8 = 0$.