Номер 727, страница 178 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 21. Теорема Виета. Упражнения - номер 727, страница 178.

Условие.

727. Корни $x_1$ и $x_2$ уравнения $x^2 - 7x + m = 0$ удовлетворяют условию

$2x_1 - 5x_2 = 28$. Найдите корни уравнения и значение $m$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Дано квадратное уравнение $x^2 - 7x + m = 0$ и условие, которому удовлетворяют его корни $x_1$ и $x_2$: $2x_1 - 5x_2 = 28$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ справедливы следующие соотношения для корней:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$

В нашем уравнении $x^2 - 7x + m = 0$ коэффициенты равны $p = -7$ и $q = m$. Применим теорему Виета:

1. $x_1 + x_2 = -(-7) = 7$
2. $x_1 \cdot x_2 = m$

Теперь мы имеем систему из двух линейных уравнений с двумя переменными $x_1$ и $x_2$:

$ \begin{cases} x_1 + x_2 = 7 \\ 2x_1 - 5x_2 = 28 \end{cases} $

Выразим $x_1$ из первого уравнения системы: $x_1 = 7 - x_2$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$2(7 - x_2) - 5x_2 = 28$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $x_2$:

$14 - 2x_2 - 5x_2 = 28$

$14 - 7x_2 = 28$

$-7x_2 = 28 - 14$

$-7x_2 = 14$

$x_2 = \frac{14}{-7}$

$x_2 = -2$

Теперь найдем значение $x_1$, подставив найденное значение $x_2$ в выражение $x_1 = 7 - x_2$:

$x_1 = 7 - (-2)$

$x_1 = 7 + 2$

$x_1 = 9$

Таким образом, мы нашли корни уравнения: $x_1 = 9$ и $x_2 = -2$.

Для нахождения значения $m$ воспользуемся вторым соотношением из теоремы Виета: $x_1 \cdot x_2 = m$.

Подставим найденные значения корней:

$m = 9 \cdot (-2)$

$m = -18$

Ответ: корни уравнения равны $9$ и $-2$; значение $m = -18$.