Номер 733, страница 178 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 21. Теорема Виета. Упражнения - номер 733, страница 178.

Условие.

733. Составьте квадратное уравнение, корни которого на 2 меньше соответствующих корней уравнения $x^2 + 8x - 3 = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения данной задачи можно использовать два способа.

Способ 1: Через теорему Виета

Исходное квадратное уравнение: $x^2 + 8x - 3 = 0$. Обозначим его корни как $x_1$ и $x_2$.

Согласно теореме Виета для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$, справедливы следующие соотношения:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p = -8$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q = -3$.

По условию задачи, корни нового уравнения, которые мы обозначим как $y_1$ и $y_2$, на 2 меньше соответствующих корней исходного уравнения. Это означает, что $y_1 = x_1 - 2$ и $y_2 = x_2 - 2$.

Теперь найдем сумму и произведение новых корней:

Сумма новых корней: $y_1 + y_2 = (x_1 - 2) + (x_2 - 2) = (x_1 + x_2) - 4$.

Подставим известное значение суммы $x_1 + x_2 = -8$:

$y_1 + y_2 = -8 - 4 = -12$.

Произведение новых корней: $y_1 \cdot y_2 = (x_1 - 2)(x_2 - 2) = x_1x_2 - 2x_1 - 2x_2 + 4 = x_1x_2 - 2(x_1 + x_2) + 4$.

Подставим известные значения произведения $x_1 \cdot x_2 = -3$ и суммы $x_1 + x_2 = -8$:

$y_1 \cdot y_2 = -3 - 2(-8) + 4 = -3 + 16 + 4 = 17$.

Зная сумму и произведение корней, можно составить искомое квадратное уравнение, используя обратную теорему Виета: $y^2 - (y_1+y_2)y + y_1y_2 = 0$.

Подставив наши значения, получаем:

$y^2 - (-12)y + 17 = 0$

$y^2 + 12y + 17 = 0$

Заменив переменную $y$ на общепринятую $x$, получаем итоговое уравнение.

Ответ: $x^2 + 12x + 17 = 0$.

Способ 2: Через замену переменной

Пусть $x$ — корень исходного уравнения $x^2 + 8x - 3 = 0$.

Пусть $y$ — корень искомого уравнения. По условию задачи, корень нового уравнения на 2 меньше корня исходного, то есть $y = x - 2$.

Из этого соотношения выразим $x$ через $y$: $x = y + 2$.

Теперь подставим это выражение для $x$ в исходное уравнение:

$(y + 2)^2 + 8(y + 2) - 3 = 0$

Далее раскроем скобки и упростим полученное выражение:

$(y^2 + 4y + 4) + (8y + 16) - 3 = 0$

$y^2 + 4y + 4 + 8y + 16 - 3 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$y^2 + (4y + 8y) + (4 + 16 - 3) = 0$

$y^2 + 12y + 17 = 0$

Мы получили искомое квадратное уравнение для переменной $y$. Для стандартной записи заменим $y$ на $x$.

Ответ: $x^2 + 12x + 17 = 0$.