Номер 740, страница 179 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 21. Теорема Виета. Упражнения - номер 740, страница 179.

Условие.

740. Найдите все целые значения $b$, при которых имеет целые корни уравнение:

1) $x^2 + bx + 6 = 0;$

2) $x^2 + bx - 12 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для того чтобы квадратное уравнение $x^2 + px + q = 0$ имело целые корни, необходимо и достаточно, чтобы его коэффициенты $p$ и $q$ были целыми (что выполняется по условию, так как $b$ — целое), и чтобы его дискриминант $D = p^2 - 4q$ был полным квадратом. Однако более простым методом решения в данном случае является использование теоремы Виета.

Согласно теореме Виета, для приведенного квадратного уравнения $x^2 + bx + c = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы соотношения:

• $x_1 + x_2 = -b$
• $x_1 \cdot x_2 = c$

По условию, параметр $b$ — целое число, а корни уравнения $x_1$ и $x_2$ также должны быть целыми. Из первого соотношения $b = -(x_1 + x_2)$ следует, что если корни $x_1$ и $x_2$ — целые числа, то их сумма $(x_1 + x_2)$ также будет целым числом, а значит и $b$ будет целым. Таким образом, задача сводится к нахождению всех пар целых чисел $(x_1, x_2)$, произведение которых равно свободному члену уравнения.

1)

Рассмотрим уравнение $x^2 + bx + 6 = 0$.

По теореме Виета, произведение корней $x_1 \cdot x_2 = 6$. Так как корни $x_1$ и $x_2$ должны быть целыми, нам нужно найти все пары целых чисел, произведение которых равно 6. Эти пары являются делителями числа 6.

Возможные пары целых корней $(x_1, x_2)$:

• 1 и 6
• -1 и -6
• 2 и 3
• -2 и -3

Для каждой пары корней найдем соответствующее значение $b$ по формуле $b = -(x_1 + x_2)$:

• Если корни 1 и 6, то $b = -(1 + 6) = -7$.
• Если корни -1 и -6, то $b = -(-1 + (-6)) = -(-7) = 7$.
• Если корни 2 и 3, то $b = -(2 + 3) = -5$.
• Если корни -2 и -3, то $b = -(-2 + (-3)) = -(-5) = 5$.

Таким образом, целыми значениями $b$, при которых уравнение имеет целые корни, являются -7, 7, -5, 5.

Ответ: $b \in \{-7, -5, 5, 7\}$.

2)

Рассмотрим уравнение $x^2 + bx - 12 = 0$.

По теореме Виета, произведение корней $x_1 \cdot x_2 = -12$. Нам нужно найти все пары целых чисел, произведение которых равно -12.

Возможные пары целых корней $(x_1, x_2)$:

• 1 и -12
• -1 и 12
• 2 и -6
• -2 и 6
• 3 и -4
• -3 и 4

Для каждой пары корней найдем соответствующее значение $b$ по формуле $b = -(x_1 + x_2)$:

• Если корни 1 и -12, то $b = -(1 + (-12)) = -(-11) = 11$.
• Если корни -1 и 12, то $b = -(-1 + 12) = -11$.
• Если корни 2 и -6, то $b = -(2 + (-6)) = -(-4) = 4$.
• Если корни -2 и 6, то $b = -(-2 + 6) = -4$.
• Если корни 3 и -4, то $b = -(3 + (-4)) = -(-1) = 1$.
• Если корни -3 и 4, то $b = -(-3 + 4) = -1$.

Таким образом, целыми значениями $b$, при которых уравнение имеет целые корни, являются 11, -11, 4, -4, 1, -1.

Ответ: $b \in \{-11, -4, -1, 1, 4, 11\}$.