Номер 740, страница 179 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение, Вентана-граф
Год издания: 2018 - 2022
Цвет обложки: розовый, фиолетовый, голубой с папками
ISBN: 978-5-360-12162-6
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 8 классе
Упражнения. Параграф 21. Теорема Виета. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 740, страница 179.
№740 (с. 179)
Условие. №740 (с. 179)
скриншот условия

740. Найдите все целые значения $b$, при которых имеет целые корни уравнение:
1) $x^2 + bx + 6 = 0;$
2) $x^2 + bx - 12 = 0.$
Решение 1. №740 (с. 179)


Решение 2. №740 (с. 179)

Решение 3. №740 (с. 179)

Решение 4. №740 (с. 179)

Решение 5. №740 (с. 179)

Решение 6. №740 (с. 179)



Решение 7. №740 (с. 179)

Решение 8. №740 (с. 179)
Для того чтобы квадратное уравнение $x^2 + px + q = 0$ имело целые корни, необходимо и достаточно, чтобы его коэффициенты $p$ и $q$ были целыми (что выполняется по условию, так как $b$ — целое), и чтобы его дискриминант $D = p^2 - 4q$ был полным квадратом. Однако более простым методом решения в данном случае является использование теоремы Виета.
Согласно теореме Виета, для приведенного квадратного уравнения $x^2 + bx + c = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы соотношения:
- $x_1 + x_2 = -b$
- $x_1 \cdot x_2 = c$
По условию, параметр $b$ — целое число, а корни уравнения $x_1$ и $x_2$ также должны быть целыми. Из первого соотношения $b = -(x_1 + x_2)$ следует, что если корни $x_1$ и $x_2$ — целые числа, то их сумма $(x_1 + x_2)$ также будет целым числом, а значит и $b$ будет целым. Таким образом, задача сводится к нахождению всех пар целых чисел $(x_1, x_2)$, произведение которых равно свободному члену уравнения.
1)Рассмотрим уравнение $x^2 + bx + 6 = 0$.
По теореме Виета, произведение корней $x_1 \cdot x_2 = 6$. Так как корни $x_1$ и $x_2$ должны быть целыми, нам нужно найти все пары целых чисел, произведение которых равно 6. Эти пары являются делителями числа 6.
Возможные пары целых корней $(x_1, x_2)$:
- 1 и 6
- -1 и -6
- 2 и 3
- -2 и -3
Для каждой пары корней найдем соответствующее значение $b$ по формуле $b = -(x_1 + x_2)$:
- Если корни 1 и 6, то $b = -(1 + 6) = -7$.
- Если корни -1 и -6, то $b = -(-1 + (-6)) = -(-7) = 7$.
- Если корни 2 и 3, то $b = -(2 + 3) = -5$.
- Если корни -2 и -3, то $b = -(-2 + (-3)) = -(-5) = 5$.
Таким образом, целыми значениями $b$, при которых уравнение имеет целые корни, являются -7, 7, -5, 5.
Ответ: $b \in \{-7, -5, 5, 7\}$.
2)Рассмотрим уравнение $x^2 + bx - 12 = 0$.
По теореме Виета, произведение корней $x_1 \cdot x_2 = -12$. Нам нужно найти все пары целых чисел, произведение которых равно -12.
Возможные пары целых корней $(x_1, x_2)$:
- 1 и -12
- -1 и 12
- 2 и -6
- -2 и 6
- 3 и -4
- -3 и 4
Для каждой пары корней найдем соответствующее значение $b$ по формуле $b = -(x_1 + x_2)$:
- Если корни 1 и -12, то $b = -(1 + (-12)) = -(-11) = 11$.
- Если корни -1 и 12, то $b = -(-1 + 12) = -11$.
- Если корни 2 и -6, то $b = -(2 + (-6)) = -(-4) = 4$.
- Если корни -2 и 6, то $b = -(-2 + 6) = -4$.
- Если корни 3 и -4, то $b = -(3 + (-4)) = -(-1) = 1$.
- Если корни -3 и 4, то $b = -(-3 + 4) = -1$.
Таким образом, целыми значениями $b$, при которых уравнение имеет целые корни, являются 11, -11, 4, -4, 1, -1.
Ответ: $b \in \{-11, -4, -1, 1, 4, 11\}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 740 расположенного на странице 179 к учебнику 2018 - 2022 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №740 (с. 179), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), учебного пособия издательства Просвещение, Вентана-граф.