Номер 747, страница 179 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 21. Теорема Виета. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 747, страница 179.

Условие.

747. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения графиков функций $y = x^2$ и $y = x + 2$. Начертите графики данных функций и отметьте найденные точки.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Нахождение координат точек пересечения

Даны две функции: $y = x^2$ и $y = x + 2$. Чтобы найти координаты точек пересечения их графиков, необходимо решить систему уравнений. В точках пересечения значения координат $(x, y)$ для обеих функций совпадают, поэтому мы можем приравнять выражения для $y$.

$$ \begin{cases} y = x^2 \\ y = x + 2 \end{cases} $$

Приравниваем правые части уравнений:
$x^2 = x + 2$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:
$x^2 - x - 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Для этого найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Мы нашли абсциссы точек пересечения. Теперь для каждой абсциссы найдем соответствующую ординату ($y$), подставив значение $x$ в любое из исходных уравнений. Удобнее использовать линейное уравнение $y = x + 2$.

Для $x_1 = 2$:
$y_1 = 2 + 2 = 4$

Для $x_2 = -1$:
$y_2 = -1 + 2 = 1$

Таким образом, графики функций пересекаются в двух точках с координатами $(-1, 1)$ и $(2, 4)$.

Ответ: Координаты точек пересечения: $(-1, 1)$ и $(2, 4)$.

Построение графиков и отметка найденных точек

Для наглядности построим графики данных функций в одной системе координат.

1. График функции $y = x^2$ — это парабола. Её вершина находится в точке $(0, 0)$, а ветви направлены вверх. Она симметрична относительно оси OY и проходит через контрольные точки, такие как $(-1, 1)$, $(1, 1)$, $(-2, 4)$, $(2, 4)$.

2. График функции $y = x + 2$ — это прямая линия. Для её построения достаточно двух точек. Удобно найти точки пересечения с осями координат:

• При $x=0$, $y = 0 + 2 = 2$. Точка пересечения с осью OY: $(0, 2)$.
• При $y=0$, $0 = x + 2 \Rightarrow x = -2$. Точка пересечения с осью OX: $(-2, 0)$.

Построим эти графики и отметим найденные в первой части точки пересечения.

Ответ: График с отмеченными точками пересечения представлен выше.