Номер 750, страница 180 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 21. Теорема Виета. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 750, страница 180.

Условие.

750. Вася задумал три цифры: $x, y, z$. Петя называет три числа: $a, b, c$. Вася сообщает Пете значение выражения $ax + by + cz$. Какие числа должен назвать Петя, чтобы по полученной информации определить, какие цифры задумал Вася?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть Вася задумал три цифры $x, y, z$, где $x, y, z \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$. Петя называет три числа $a, b, c$ и получает от Васи значение выражения $S = ax + by + cz$. Пете нужно выбрать числа $a, b, c$ таким образом, чтобы по значению $S$ можно было однозначно восстановить цифры $x, y, z$.

Это означает, что для любых двух различных наборов цифр $(x_1, y_1, z_1)$ и $(x_2, y_2, z_2)$ соответствующие значения суммы $S_1$ и $S_2$ также должны быть различны. То есть, если $(x_1, y_1, z_1) \neq (x_2, y_2, z_2)$, то должно выполняться $ax_1 + by_1 + cz_1 \neq ax_2 + by_2 + cz_2$.

Перенеся все члены в одну сторону, получим $a(x_1 - x_2) + b(y_1 - y_2) + c(z_1 - z_2) \neq 0$. Обозначим разности $\Delta x = x_1 - x_2$, $\Delta y = y_1 - y_2$, $\Delta z = z_1 - z_2$. Поскольку $x, y, z$ — это цифры от 0 до 9, их разности $\Delta x, \Delta y, \Delta z$ могут принимать целые значения от -9 до 9. Условие единственности решения сводится к тому, чтобы уравнение $a\Delta x + b\Delta y + c\Delta z = 0$ имело только одно целочисленное решение в диапазоне $[-9, 9]$ для $\Delta x, \Delta y, \Delta z$ — а именно, тривиальное решение $\Delta x=0, \Delta y=0, \Delta z=0$.

Чтобы гарантировать это, Петя может выбрать числа $a, b, c$ по аналогии с разрядами в позиционной системе счисления. Например, он может выбрать числа, являющиеся степенями 10. Пусть Петя назовет числа $a=1, b=10, c=100$.

Тогда выражение, значение которого $S$ сообщает Вася, будет $S = 1 \cdot x + 10 \cdot y + 100 \cdot z$. Фактически, это число, в котором $z$ — цифра сотен, $y$ — цифра десятков, а $x$ — цифра единиц. Поскольку $x, y, z$ — цифры от 0 до 9, такая запись числа $S$ является единственной.

Докажем это строго.

Пусть Петя выбрал $a=1, b=10, c=100$. Рассмотрим уравнение $1 \cdot \Delta x + 10 \cdot \Delta y + 100 \cdot \Delta z = 0$, где $\Delta x, \Delta y, \Delta z \in \{-9, \ldots, 9\}$.
Перепишем его в виде $100 \cdot \Delta z = -10 \cdot \Delta y - \Delta x$.
Оценим максимальное значение модуля правой части: $|-10 \cdot \Delta y - \Delta x| \le |-10 \cdot \Delta y| + |-\Delta x| = 10|\Delta y| + |\Delta x|$.
Так как максимальное значение для $|\Delta x|$ и $|\Delta y|$ равно 9, получаем: $10 \cdot 9 + 9 = 99$.
Следовательно, $|100 \cdot \Delta z| \le 99$, откуда $|\Delta z| \le \frac{99}{100}$.
Поскольку $\Delta z$ — целое число, единственное возможное значение — это $\Delta z = 0$.

Подставив $\Delta z = 0$ в исходное уравнение, получим $\Delta x + 10 \cdot \Delta y = 0$, или $\Delta x = -10 \cdot \Delta y$.
Возьмем модуль от обеих частей: $|\Delta x| = |-10 \cdot \Delta y| = 10|\Delta y|$.
Мы знаем, что $|\Delta x| \le 9$, поэтому $10|\Delta y| \le 9$, откуда $|\Delta y| \le \frac{9}{10}$.
Так как $\Delta y$ — целое число, единственно возможное значение — это $\Delta y = 0$.

Наконец, подставив $\Delta y = 0$ в уравнение $\Delta x = -10 \cdot \Delta y$, получаем $\Delta x = 0$.

Таким образом, единственным решением является $\Delta x=0, \Delta y=0, \Delta z=0$. Это доказывает, что для каждого значения $S$ существует только один набор цифр $(x, y, z)$, который его порождает.

Пример:
Допустим, Вася задумал цифры $x=3, y=8, z=4$.
Петя называет числа $a=1, b=10, c=100$.
Вася вычисляет $S = 1 \cdot 3 + 10 \cdot 8 + 100 \cdot 4 = 3 + 80 + 400 = 483$.
Получив число 483, Петя может однозначно восстановить цифры:
Цифра сотен $z = \lfloor 483 / 100 \rfloor = 4$.
Остаток после вычитания сотен: $483 - 100 \cdot 4 = 83$.
Цифра десятков $y = \lfloor 83 / 10 \rfloor = 8$.
Остаток после вычитания десятков: $83 - 10 \cdot 8 = 3$.
Цифра единиц $x = 3$.
Петя определил, что Вася задумал цифры 3, 8, и 4.

Ответ:
Петя должен назвать числа, являющиеся последовательными степенями числа, большего 9. Самый простой и естественный выбор — это степени числа 10. Например, Петя может назвать числа $a=1$, $b=10$ и $c=100$. Также подойдет любая их перестановка, например $a=100, b=10, c=1$.