Номер 744, страница 179 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 21. Теорема Виета. Упражнения - номер 744, страница 179.

Условие.

744. При каком значении $a$ сумма квадратов корней уравнения $x^2 + (a - 1)x - 2a = 0$ равна 9?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Дано квадратное уравнение $x^2 + (a - 1)x - 2a = 0$.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни этого уравнения. Согласно условию задачи, сумма их квадратов должна быть равна 9, то есть $x_1^2 + x_2^2 = 9$.

Прежде всего, для существования действительных корней, дискриминант $D$ уравнения должен быть неотрицательным ($D \ge 0$). Найдем дискриминант для данного уравнения:

$D = b^2 - 4ac = (a - 1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2a) = a^2 - 2a + 1 + 8a = a^2 + 6a + 1$.

Следовательно, должно выполняться условие: $a^2 + 6a + 1 \ge 0$.

Теперь воспользуемся теоремой Виета, которая связывает корни уравнения с его коэффициентами. Для нашего уравнения:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(a - 1) = 1 - a$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -2a$

Выразим сумму квадратов корней, $x_1^2 + x_2^2$, через сумму и произведение корней. Известно, что $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$. Отсюда:

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$

Подставим в это равенство выражения из теоремы Виета и значение из условия задачи:

$(1 - a)^2 - 2(-2a) = 9$

Теперь решим полученное уравнение относительно параметра $a$:

$1 - 2a + a^2 + 4a = 9$

Приведем подобные члены:

$a^2 + 2a + 1 = 9$

Левая часть уравнения представляет собой полный квадрат:

$(a + 1)^2 = 9$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два возможных случая:

$a + 1 = 3$ или $a + 1 = -3$

Отсюда находим два возможных значения для $a$:

$a_1 = 3 - 1 = 2$

$a_2 = -3 - 1 = -4$

Нам необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные значения $a$ условию неотрицательности дискриминанта $D = a^2 + 6a + 1 \ge 0$.

1. Проверим $a = 2$:
   $D = (2)^2 + 6(2) + 1 = 4 + 12 + 1 = 17$.
   Поскольку $17 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Следовательно, значение $a = 2$ является решением.
2. Проверим $a = -4$:
   $D = (-4)^2 + 6(-4) + 1 = 16 - 24 + 1 = -7$.
   Поскольку $-7 < 0$, при данном значении $a$ уравнение не имеет действительных корней, а значит, говорить о сумме их квадратов бессмысленно в контексте действительных чисел. Следовательно, $a = -4$ не является решением.

Таким образом, единственное значение параметра, удовлетворяющее условию задачи, — это $a=2$.

Ответ: 2.