Номер 744, страница 179 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение, Вентана-граф
Год издания: 2018 - 2022
Цвет обложки: розовый, фиолетовый, голубой с папками
ISBN: 978-5-360-12162-6
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 8 классе
Упражнения. Параграф 21. Теорема Виета. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 744, страница 179.
№744 (с. 179)
Условие. №744 (с. 179)
скриншот условия

744. При каком значении $a$ сумма квадратов корней уравнения $x^2 + (a - 1)x - 2a = 0$ равна 9?
Решение 1. №744 (с. 179)

Решение 2. №744 (с. 179)

Решение 3. №744 (с. 179)

Решение 4. №744 (с. 179)

Решение 5. №744 (с. 179)

Решение 6. №744 (с. 179)

Решение 7. №744 (с. 179)

Решение 8. №744 (с. 179)
Дано квадратное уравнение $x^2 + (a - 1)x - 2a = 0$.
Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни этого уравнения. Согласно условию задачи, сумма их квадратов должна быть равна 9, то есть $x_1^2 + x_2^2 = 9$.
Прежде всего, для существования действительных корней, дискриминант $D$ уравнения должен быть неотрицательным ($D \ge 0$). Найдем дискриминант для данного уравнения:
$D = b^2 - 4ac = (a - 1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2a) = a^2 - 2a + 1 + 8a = a^2 + 6a + 1$.
Следовательно, должно выполняться условие: $a^2 + 6a + 1 \ge 0$.
Теперь воспользуемся теоремой Виета, которая связывает корни уравнения с его коэффициентами. Для нашего уравнения:
- Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(a - 1) = 1 - a$
- Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -2a$
Выразим сумму квадратов корней, $x_1^2 + x_2^2$, через сумму и произведение корней. Известно, что $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$. Отсюда:
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$
Подставим в это равенство выражения из теоремы Виета и значение из условия задачи:
$(1 - a)^2 - 2(-2a) = 9$
Теперь решим полученное уравнение относительно параметра $a$:
$1 - 2a + a^2 + 4a = 9$
Приведем подобные члены:
$a^2 + 2a + 1 = 9$
Левая часть уравнения представляет собой полный квадрат:
$(a + 1)^2 = 9$
Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два возможных случая:
$a + 1 = 3$ или $a + 1 = -3$
Отсюда находим два возможных значения для $a$:
$a_1 = 3 - 1 = 2$
$a_2 = -3 - 1 = -4$
Нам необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные значения $a$ условию неотрицательности дискриминанта $D = a^2 + 6a + 1 \ge 0$.
- Проверим $a = 2$:
$D = (2)^2 + 6(2) + 1 = 4 + 12 + 1 = 17$.
Поскольку $17 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Следовательно, значение $a = 2$ является решением. - Проверим $a = -4$:
$D = (-4)^2 + 6(-4) + 1 = 16 - 24 + 1 = -7$.
Поскольку $-7 < 0$, при данном значении $a$ уравнение не имеет действительных корней, а значит, говорить о сумме их квадратов бессмысленно в контексте действительных чисел. Следовательно, $a = -4$ не является решением.
Таким образом, единственное значение параметра, удовлетворяющее условию задачи, — это $a=2$.
Ответ: 2.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 744 расположенного на странице 179 к учебнику 2018 - 2022 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №744 (с. 179), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), учебного пособия издательства Просвещение, Вентана-граф.