Номер 737, страница 179 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 21. Теорема Виета. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 737, страница 179.

Условие.

737. Сумма квадратов корней уравнения $3x^2 + ax - 7 = 0$ равна $\frac{46}{9}$. Найдите значение $a$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Дано квадратное уравнение $3x^2 + ax - 7 = 0$. Пусть $x_1$ и $x_2$ — его корни. Согласно условию задачи, сумма квадратов корней равна $\frac{46}{9}$, то есть $x_1^2 + x_2^2 = \frac{46}{9}$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Для приведённого квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ сумма корней равна $-p$, а произведение равно $q$. Для нашего уравнения $3x^2 + ax - 7 = 0$, которое можно переписать в виде $x^2 + \frac{a}{3}x - \frac{7}{3} = 0$, теорема Виета даёт следующие соотношения для корней:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{a}{3}$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -\frac{7}{3}$

Теперь выразим сумму квадратов корней через их сумму и произведение. Используем известное тождество: $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$

Подставим в это тождество значения, полученные из теоремы Виета, и данное в условии значение суммы квадратов: $\frac{46}{9} = \left(-\frac{a}{3}\right)^2 - 2\left(-\frac{7}{3}\right)$

Теперь решим полученное уравнение относительно $a$: $\frac{46}{9} = \frac{a^2}{9} + \frac{14}{3}$

Приведём дроби к общему знаменателю 9: $\frac{46}{9} = \frac{a^2}{9} + \frac{14 \cdot 3}{3 \cdot 3}$ $\frac{46}{9} = \frac{a^2}{9} + \frac{42}{9}$

Умножим обе части уравнения на 9, чтобы избавиться от знаменателя: $46 = a^2 + 42$

Выразим $a^2$: $a^2 = 46 - 42$ $a^2 = 4$

Отсюда находим возможные значения $a$: $a = \sqrt{4}$ или $a = -\sqrt{4}$ $a = 2$ или $a = -2$

Ответ: $a = 2$ или $a = -2$.