Номер 736, страница 178 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 21. Теорема Виета. Упражнения - номер 736, страница 178.

Условие.

736. Составьте квадратное уравнение, корни которого в 2 раза больше соответствующих корней уравнения $2x^2 - 15x + 4 = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Чтобы составить требуемое квадратное уравнение, можно воспользоваться двумя основными способами.

Способ 1: Использование теоремы Виета

Рассмотрим исходное квадратное уравнение $2x^2 - 15x + 4 = 0$.
Пусть его корни – это $x_1$ и $x_2$. Согласно теореме Виета для квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$, сумма и произведение его корней вычисляются по формулам:
$x_1 + x_2 = -b/a$
$x_1 \cdot x_2 = c/a$
В нашем случае коэффициенты равны: $a=2$, $b=-15$, $c=4$.
Найдем сумму и произведение корней исходного уравнения:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-15)/2 = 15/2$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 4/2 = 2$.

Теперь рассмотрим новое квадратное уравнение. Пусть его корни – $y_1$ и $y_2$. По условию задачи, они в 2 раза больше соответствующих корней исходного уравнения:
$y_1 = 2x_1$
$y_2 = 2x_2$

Найдем сумму и произведение новых корней, выразив их через сумму и произведение старых корней:
Сумма новых корней: $y_1 + y_2 = 2x_1 + 2x_2 = 2(x_1 + x_2) = 2 \cdot (15/2) = 15$.
Произведение новых корней: $y_1 \cdot y_2 = (2x_1)(2x_2) = 4(x_1 \cdot x_2) = 4 \cdot 2 = 8$.

По обратной теореме Виета, если известны сумма $S$ и произведение $P$ корней, то приведенное квадратное уравнение (где коэффициент при старшей степени равен 1) можно составить по формуле $y^2 - Sy + P = 0$.
Подставим найденные значения $S = 15$ и $P = 8$:
$y^2 - 15y + 8 = 0$.
Обычно уравнение записывают с переменной $x$.
Ответ: $x^2 - 15x + 8 = 0$.

Способ 2: Метод замены переменной

Пусть $x$ – это корень исходного уравнения $2x^2 - 15x + 4 = 0$.
Мы ищем новое уравнение для переменной $y$, корень которого в 2 раза больше, то есть $y = 2x$.
Из этого соотношения можно выразить $x$ через $y$: $x = y/2$.

Теперь подставим это выражение для $x$ в исходное уравнение. Так как $x$ является его корнем, то равенство будет верным. Новое уравнение будет зависеть от $y$.
$2(y/2)^2 - 15(y/2) + 4 = 0$
Упростим полученное выражение:
$2(y^2/4) - 15y/2 + 4 = 0$
$y^2/2 - 15y/2 + 4 = 0$

Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части уравнения на 2:
$2 \cdot (y^2/2) - 2 \cdot (15y/2) + 2 \cdot 4 = 2 \cdot 0$
$y^2 - 15y + 8 = 0$
Мы получили искомое уравнение. Заменив переменную $y$ на $x$, получим финальный вид.
Ответ: $x^2 - 15x + 8 = 0$.