Номер 728, страница 178 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 21. Теорема Виета. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 728, страница 178.

Условие.

728. Корни $x_1$ и $x_2$ уравнения $x^2 + 4x + n = 0$ удовлетворяют условию

$3x_1 - x_2 = 8$. Найдите корни уравнения и значение $n$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Дано квадратное уравнение $x^2 + 4x + n = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$. Известно, что корни удовлетворяют условию $3x_1 - x_2 = 8$. Необходимо найти корни уравнения и значение параметра $n$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ теорема Виета устанавливает следующие соотношения между корнями:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$

В нашем уравнении $x^2 + 4x + n = 0$ коэффициенты равны $p=4$ и $q=n$. Следовательно, по теореме Виета имеем:
$x_1 + x_2 = -4$
$x_1 \cdot x_2 = n$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений для нахождения корней $x_1$ и $x_2$:
$ \begin{cases} x_1 + x_2 = -4 \\ 3x_1 - x_2 = 8 \end{cases} $

Сложим два уравнения системы, чтобы исключить $x_2$:
$(x_1 + x_2) + (3x_1 - x_2) = -4 + 8$
$4x_1 = 4$
$x_1 = 1$

Теперь, зная $x_1$, найдем $x_2$, подставив значение $x_1=1$ в первое уравнение системы:
$1 + x_2 = -4$
$x_2 = -4 - 1$
$x_2 = -5$

Таким образом, мы нашли корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = -5$.

Осталось найти значение $n$. Для этого воспользуемся вторым соотношением из теоремы Виета:
$n = x_1 \cdot x_2$
Подставим найденные значения корней:
$n = 1 \cdot (-5)$
$n = -5$

Ответ: Корни уравнения равны $1$ и $-5$; значение $n = -5$.