Номер 721, страница 177 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 21. Теорема Виета. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 721, страница 177.

Условие.

721. При каком значении $b$ корни уравнения $x^2 + bx - 17 = 0$ являются противоположными числами? Найдите эти корни.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Дано квадратное уравнение $x^2 + bx - 17 = 0$. Чтобы найти значение $b$, при котором корни уравнения являются противоположными числами, воспользуемся теоремой Виета.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни данного уравнения. Если они являются противоположными числами, то их сумма равна нулю: $x_1 + x_2 = 0$.

Согласно теореме Виета для приведенного квадратного уравнения, сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком: $x_1 + x_2 = -b$.

При каком значении b корни уравнения являются противоположными числами?

Приравнивая два выражения для суммы корней, получаем:
$-b = 0$
Следовательно, $b = 0$.
Проверим, существуют ли при этом значении $b$ действительные корни. Дискриминант $D = b^2 - 4ac$. Для нашего уравнения $a=1, c=-17$.
$D = 0^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-17) = 68$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Ответ: $b=0$.

Найдите эти корни.

Подставим найденное значение $b=0$ в исходное уравнение:
$x^2 + 0 \cdot x - 17 = 0$
$x^2 - 17 = 0$
Решим это неполное квадратное уравнение:
$x^2 = 17$
$x = \pm\sqrt{17}$
Корни уравнения: $x_1 = \sqrt{17}$ и $x_2 = -\sqrt{17}$.
Ответ: $\sqrt{17}$ и $-\sqrt{17}$.