Номер 725, страница 178 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 21. Теорема Виета. Упражнения - номер 725, страница 178.

Условие.

725. Один из корней уравнения $x^2 - 10x + c = 0$ на 8 меньше другого. Найдите значение $c$ и корни уравнения.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть корни заданного квадратного уравнения $x^2 - 10x + c = 0$ — это $x_1$ и $x_2$.

Согласно условию задачи, один корень на 8 меньше другого. Если мы обозначим больший корень как $x_2$, а меньший как $x_1$, то это условие можно записать в виде уравнения: $x_2 = x_1 + 8$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$. Теорема Виета устанавливает следующие соотношения между корнями и коэффициентами:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$

В нашем уравнении $x^2 - 10x + c = 0$ коэффициент $p = -10$, а свободный член $q = c$. Применим теорему Виета:
1) $x_1 + x_2 = -(-10) = 10$
2) $x_1 \cdot x_2 = c$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений для нахождения корней $x_1$ и $x_2$:
$x_1 + x_2 = 10$
$x_2 = x_1 + 8$

Для решения системы подставим выражение для $x_2$ из второго уравнения в первое:
$x_1 + (x_1 + 8) = 10$
$2x_1 + 8 = 10$
$2x_1 = 10 - 8$
$2x_1 = 2$
$x_1 = 1$

Теперь, зная значение $x_1$, найдем второй корень $x_2$:
$x_2 = x_1 + 8 = 1 + 8 = 9$.
Таким образом, корни уравнения — это 1 и 9.

Осталось найти значение коэффициента $c$. Для этого воспользуемся вторым соотношением из теоремы Виета:
$c = x_1 \cdot x_2$
Подставим найденные значения корней:
$c = 1 \cdot 9 = 9$.

Ответ: значение $c$ равно 9, корни уравнения — 1 и 9.