Номер 714, страница 177 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 21. Теорема Виета. Упражнения - номер 714, страница 177.

Условие.

714. Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, корни которого равны:

1) $-7$ и $-8$;

2) $5$ и $-0,4$;

3) $\frac{1}{2}$ и $\frac{2}{3}$;

4) $5 - \sqrt{10}$ и $5 + \sqrt{10}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для составления квадратного уравнения по его корням $x_1$ и $x_2$ используется теорема, обратная теореме Виета. Согласно ей, приведенное квадратное уравнение ($x^2 + px + q = 0$) можно записать через его корни в виде:

$x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 \cdot x_2 = 0$

где $(x_1 + x_2)$ — это сумма корней, а $(x_1 \cdot x_2)$ — их произведение. Если после вычисления коэффициентов они получаются нецелыми, то всё уравнение нужно домножить на такое число, чтобы все коэффициенты стали целыми.

1) Корни уравнения: $x_1 = -7$ и $x_2 = -8$.

Сначала найдем сумму корней:

$x_1 + x_2 = -7 + (-8) = -15$

Затем найдем произведение корней:

$x_1 \cdot x_2 = (-7) \cdot (-8) = 56$

Теперь подставим полученные значения в формулу:

$x^2 - (-15)x + 56 = 0$

$x^2 + 15x + 56 = 0$

Коэффициенты уравнения (1, 15, 56) являются целыми, поэтому это искомое уравнение.

Ответ: $x^2 + 15x + 56 = 0$.

2) Корни уравнения: $x_1 = 5$ и $x_2 = -0,4$.

Найдем сумму корней:

$x_1 + x_2 = 5 + (-0,4) = 4,6$

Найдем произведение корней:

$x_1 \cdot x_2 = 5 \cdot (-0,4) = -2$

Подставим значения в формулу:

$x^2 - 4,6x - 2 = 0$

Коэффициент $-4,6$ не является целым. Чтобы избавиться от дроби, умножим все члены уравнения на 5 (поскольку $4,6 = \frac{46}{10} = \frac{23}{5}$):

$5 \cdot (x^2 - 4,6x - 2) = 5 \cdot 0$

$5x^2 - 23x - 10 = 0$

Теперь все коэффициенты (5, -23, -10) — целые числа.

Ответ: $5x^2 - 23x - 10 = 0$.

3) Корни уравнения: $x_1 = \frac{1}{2}$ и $x_2 = \frac{2}{3}$.

Найдем сумму корней:

$x_1 + x_2 = \frac{1}{2} + \frac{2}{3} = \frac{3}{6} + \frac{4}{6} = \frac{7}{6}$

Найдем произведение корней:

$x_1 \cdot x_2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Подставим значения в формулу:

$x^2 - \frac{7}{6}x + \frac{1}{3} = 0$

Коэффициенты не являются целыми. Чтобы получить целые коэффициенты, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей (6 и 3), то есть на 6:

$6 \cdot (x^2 - \frac{7}{6}x + \frac{1}{3}) = 6 \cdot 0$

$6x^2 - 7x + 2 = 0$

Теперь все коэффициенты (6, -7, 2) — целые числа.

Ответ: $6x^2 - 7x + 2 = 0$.

4) Корни уравнения: $x_1 = 5 - \sqrt{10}$ и $x_2 = 5 + \sqrt{10}$.

Найдем сумму корней:

$x_1 + x_2 = (5 - \sqrt{10}) + (5 + \sqrt{10}) = 10$

Найдем произведение корней, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:

$x_1 \cdot x_2 = (5 - \sqrt{10})(5 + \sqrt{10}) = 5^2 - (\sqrt{10})^2 = 25 - 10 = 15$

Подставим полученные значения в формулу:

$x^2 - 10x + 15 = 0$

Коэффициенты уравнения (1, -10, 15) являются целыми, поэтому это искомое уравнение.

Ответ: $x^2 - 10x + 15 = 0$.