Номер 714, страница 177 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение, Вентана-граф
Год издания: 2018 - 2022
Цвет обложки: розовый, фиолетовый, голубой с папками
ISBN: 978-5-360-12162-6
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 8 классе
Упражнения. Параграф 21. Теорема Виета. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 714, страница 177.
№714 (с. 177)
Условие. №714 (с. 177)
скриншот условия

714. Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, корни которого равны:
1) $-7$ и $-8$;
2) $5$ и $-0,4$;
3) $\frac{1}{2}$ и $\frac{2}{3}$;
4) $5 - \sqrt{10}$ и $5 + \sqrt{10}$.
Решение 1. №714 (с. 177)




Решение 2. №714 (с. 177)

Решение 3. №714 (с. 177)

Решение 4. №714 (с. 177)

Решение 5. №714 (с. 177)

Решение 6. №714 (с. 177)

Решение 7. №714 (с. 177)

Решение 8. №714 (с. 177)
Для составления квадратного уравнения по его корням $x_1$ и $x_2$ используется теорема, обратная теореме Виета. Согласно ей, приведенное квадратное уравнение ($x^2 + px + q = 0$) можно записать через его корни в виде:
$x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 \cdot x_2 = 0$
где $(x_1 + x_2)$ — это сумма корней, а $(x_1 \cdot x_2)$ — их произведение. Если после вычисления коэффициентов они получаются нецелыми, то всё уравнение нужно домножить на такое число, чтобы все коэффициенты стали целыми.
1) Корни уравнения: $x_1 = -7$ и $x_2 = -8$.
Сначала найдем сумму корней:
$x_1 + x_2 = -7 + (-8) = -15$
Затем найдем произведение корней:
$x_1 \cdot x_2 = (-7) \cdot (-8) = 56$
Теперь подставим полученные значения в формулу:
$x^2 - (-15)x + 56 = 0$
$x^2 + 15x + 56 = 0$
Коэффициенты уравнения (1, 15, 56) являются целыми, поэтому это искомое уравнение.
Ответ: $x^2 + 15x + 56 = 0$.
2) Корни уравнения: $x_1 = 5$ и $x_2 = -0,4$.
Найдем сумму корней:
$x_1 + x_2 = 5 + (-0,4) = 4,6$
Найдем произведение корней:
$x_1 \cdot x_2 = 5 \cdot (-0,4) = -2$
Подставим значения в формулу:
$x^2 - 4,6x - 2 = 0$
Коэффициент $-4,6$ не является целым. Чтобы избавиться от дроби, умножим все члены уравнения на 5 (поскольку $4,6 = \frac{46}{10} = \frac{23}{5}$):
$5 \cdot (x^2 - 4,6x - 2) = 5 \cdot 0$
$5x^2 - 23x - 10 = 0$
Теперь все коэффициенты (5, -23, -10) — целые числа.
Ответ: $5x^2 - 23x - 10 = 0$.
3) Корни уравнения: $x_1 = \frac{1}{2}$ и $x_2 = \frac{2}{3}$.
Найдем сумму корней:
$x_1 + x_2 = \frac{1}{2} + \frac{2}{3} = \frac{3}{6} + \frac{4}{6} = \frac{7}{6}$
Найдем произведение корней:
$x_1 \cdot x_2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
Подставим значения в формулу:
$x^2 - \frac{7}{6}x + \frac{1}{3} = 0$
Коэффициенты не являются целыми. Чтобы получить целые коэффициенты, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей (6 и 3), то есть на 6:
$6 \cdot (x^2 - \frac{7}{6}x + \frac{1}{3}) = 6 \cdot 0$
$6x^2 - 7x + 2 = 0$
Теперь все коэффициенты (6, -7, 2) — целые числа.
Ответ: $6x^2 - 7x + 2 = 0$.
4) Корни уравнения: $x_1 = 5 - \sqrt{10}$ и $x_2 = 5 + \sqrt{10}$.
Найдем сумму корней:
$x_1 + x_2 = (5 - \sqrt{10}) + (5 + \sqrt{10}) = 10$
Найдем произведение корней, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:
$x_1 \cdot x_2 = (5 - \sqrt{10})(5 + \sqrt{10}) = 5^2 - (\sqrt{10})^2 = 25 - 10 = 15$
Подставим полученные значения в формулу:
$x^2 - 10x + 15 = 0$
Коэффициенты уравнения (1, -10, 15) являются целыми, поэтому это искомое уравнение.
Ответ: $x^2 - 10x + 15 = 0$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 714 расположенного на странице 177 к учебнику 2018 - 2022 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №714 (с. 177), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), учебного пособия издательства Просвещение, Вентана-граф.