Номер 679, страница 170 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 20. Формула корней квадратного уравнения. Упражнения - номер 679, страница 170.

Условие.

679. Найдите четыре последовательных чётных натуральных числа, если сумма первого и третьего чисел в 5 раз меньше, чем произведение второго и четвёртого чисел.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть первое из четырёх последовательных чётных натуральных чисел равно $2n$, где $n$ — натуральное число. Поскольку числа натуральные, $2n \ge 2$, следовательно $n \ge 1$. Тогда следующие три числа будут $2n + 2$, $2n + 4$ и $2n + 6$.

Согласно условию задачи, сумма первого и третьего чисел в 5 раз меньше, чем произведение второго и четвёртого. Составим уравнение на основе этого условия.

Сумма первого и третьего чисел: $S = 2n + (2n + 4) = 4n + 4$.

Произведение второго и четвёртого чисел: $P = (2n + 2)(2n + 6)$.

Условие «сумма в 5 раз меньше произведения» означает, что произведение равно сумме, умноженной на 5: $P = 5 \cdot S$.

Подставим выражения для $P$ и $S$ в это равенство:
$(2n + 2)(2n + 6) = 5(4n + 4)$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:
$4n^2 + 12n + 4n + 12 = 20n + 20$
$4n^2 + 16n + 12 = 20n + 20$

Перенесём все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:
$4n^2 + 16n + 12 - 20n - 20 = 0$
$4n^2 - 4n - 8 = 0$

Разделим обе части уравнения на 4 для упрощения:
$n^2 - n - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Используя формулу для корней квадратного уравнения $n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$:
$a = 1, b = -1, c = -2$
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$
$n_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 3}{2} = 2$
$n_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 3}{2} = -1$

По условию, мы ищем натуральные чётные числа. Первое число равно $2n$. Так как $n$ должно быть натуральным числом ($n \ge 1$), корень $n_2 = -1$ не подходит. Корень $n_1 = 2$ подходит.

Теперь найдём все четыре числа, подставив $n=2$:
Первое число: $2n = 2 \cdot 2 = 4$
Второе число: $2n + 2 = 4 + 2 = 6$
Третье число: $2n + 4 = 4 + 4 = 8$
Четвёртое число: $2n + 6 = 4 + 6 = 10$
Искомые числа: 4, 6, 8, 10.

Проверим, выполняется ли условие задачи:
Сумма первого и третьего чисел: $4 + 8 = 12$.
Произведение второго и четвёртого чисел: $6 \cdot 10 = 60$.
Проверим, что сумма в 5 раз меньше произведения: $60 / 12 = 5$. Условие выполняется.

Ответ: 4, 6, 8, 10.