Номер 685, страница 171 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 20. Формула корней квадратного уравнения. Упражнения - номер 685, страница 171.

Условие.

685. Решите уравнение:

1) $|x^2 + 10x - 4| = 20;$

2) $x|x| + 12x - 45 = 0;$

3) $\frac{x^3}{|x|} - 14x - 15 = 0;$

4) $x^2 - 8\sqrt{x^2} - 9 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Исходное уравнение: $|x^2 + 10x - 4| = 20$.
Уравнение с модулем равносильно совокупности двух уравнений:
$x^2 + 10x - 4 = 20$ или $x^2 + 10x - 4 = -20$.

Решим первое уравнение:
$x^2 + 10x - 4 = 20$
$x^2 + 10x - 24 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 100 + 96 = 196 = 14^2$.
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-10 - 14}{2} = \frac{-24}{2} = -12$
$x_2 = \frac{-10 + 14}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Решим второе уравнение:
$x^2 + 10x - 4 = -20$
$x^2 + 10x + 16 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 100 - 64 = 36 = 6^2$.
Найдем корни:
$x_3 = \frac{-10 - 6}{2} = \frac{-16}{2} = -8$
$x_4 = \frac{-10 + 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Объединяем все найденные корни.
Ответ: $\{-12; -8; -2; 2\}$.

2) Исходное уравнение: $x|x| + 12x - 45 = 0$.
Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $x \ge 0$. Тогда $|x| = x$.
Уравнение принимает вид:
$x \cdot x + 12x - 45 = 0$
$x^2 + 12x - 45 = 0$
Найдем дискриминант: $D = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-45) = 144 + 180 = 324 = 18^2$.
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-12 + 18}{2} = \frac{6}{2} = 3$. Этот корень удовлетворяет условию $x \ge 0$.
$x_2 = \frac{-12 - 18}{2} = \frac{-30}{2} = -15$. Этот корень не удовлетворяет условию $x \ge 0$.

Случай 2: $x < 0$. Тогда $|x| = -x$.
Уравнение принимает вид:
$x \cdot (-x) + 12x - 45 = 0$
$-x^2 + 12x - 45 = 0$
$x^2 - 12x + 45 = 0$
Найдем дискриминант: $D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 45 = 144 - 180 = -36$.
Так как $D < 0$, в этом случае действительных корней нет.

Единственным решением уравнения является $x=3$.
Ответ: $\{3\}$.

3) Исходное уравнение: $\frac{x^3}{|x|} - 14x - 15 = 0$.
Область допустимых значений: $x \ne 0$.
Рассмотрим два случая.

Случай 1: $x > 0$. Тогда $|x| = x$.
$\frac{x^3}{x} - 14x - 15 = 0$
$x^2 - 14x - 15 = 0$
Найдем дискриминант: $D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 196 + 60 = 256 = 16^2$.
Найдем корни:
$x_1 = \frac{14 + 16}{2} = \frac{30}{2} = 15$. Этот корень удовлетворяет условию $x > 0$.
$x_2 = \frac{14 - 16}{2} = \frac{-2}{2} = -1$. Этот корень не удовлетворяет условию $x > 0$.

Случай 2: $x < 0$. Тогда $|x| = -x$.
$\frac{x^3}{-x} - 14x - 15 = 0$
$-x^2 - 14x - 15 = 0$
$x^2 + 14x + 15 = 0$
Найдем дискриминант: $D = 14^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 196 - 60 = 136$.
$\sqrt{D} = \sqrt{136} = \sqrt{4 \cdot 34} = 2\sqrt{34}$.
Найдем корни:
$x_3 = \frac{-14 - 2\sqrt{34}}{2} = -7 - \sqrt{34}$. Так как $\sqrt{34} > 0$, то $x_3 < 0$. Корень подходит.
$x_4 = \frac{-14 + 2\sqrt{34}}{2} = -7 + \sqrt{34}$. Так как $49 > 34$, то $7 > \sqrt{34}$, следовательно $-7 + \sqrt{34} < 0$. Корень подходит.

Объединяем найденные корни из обоих случаев.
Ответ: $\{15; -7 - \sqrt{34}; -7 + \sqrt{34}\}$.

4) Исходное уравнение: $x^2 - 8\sqrt{x^2} - 9 = 0$.
Используем тождество $\sqrt{x^2} = |x|$.
Уравнение принимает вид:
$x^2 - 8|x| - 9 = 0$
Так как $x^2 = |x|^2$, перепишем уравнение:
$|x|^2 - 8|x| - 9 = 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = |x|$, при этом $t \ge 0$.
$t^2 - 8t - 9 = 0$
Решим квадратное уравнение относительно $t$. По теореме Виета:
$t_1 + t_2 = 8$
$t_1 \cdot t_2 = -9$
Корни: $t_1 = 9$ и $t_2 = -1$.
Проверим условие $t \ge 0$.
$t_1 = 9$ - удовлетворяет условию.
$t_2 = -1$ - не удовлетворяет условию, является посторонним корнем.

Возвращаемся к исходной переменной:
$|x| = 9$
Отсюда получаем два корня:
$x_1 = 9$
$x_2 = -9$

Ответ: $\{-9; 9\}$.