Номер 664, страница 169 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 20. Формула корней квадратного уравнения. Упражнения - номер 664, страница 169.

Условие.

664. Решите уравнение:

1) $(x - 4)^2 = 4x - 11;$

2) $(x + 5)^2 + (x - 7)(x + 7) = 6x - 19;$

3) $(3x - 1)(x + 4) = (2x + 3)(x + 3) - 17.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $(x - 4)^2 = 4x - 11$

Раскроем скобки в левой части уравнения, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$x^2 - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = 4x - 11$

$x^2 - 8x + 16 = 4x - 11$

Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 8x + 16 - 4x + 11 = 0$

$x^2 - 12x + 27 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или найти корни через дискриминант. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 27 = 144 - 108 = 36$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-12) - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{12 - 6}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$x_2 = \frac{-(-12) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{12 + 6}{2} = \frac{18}{2} = 9$

Ответ: 3; 9.

2) $(x + 5)^2 + (x - 7)(x + 7) = 6x - 19$

Раскроем скобки в левой части уравнения. Первое слагаемое раскроем по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, а второе — по формуле разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$(x^2 + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2) + (x^2 - 7^2) = 6x - 19$

$(x^2 + 10x + 25) + (x^2 - 49) = 6x - 19$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$2x^2 + 10x - 24 = 6x - 19$

Перенесем все члены в левую часть:

$2x^2 + 10x - 24 - 6x + 19 = 0$

$2x^2 + 4x - 5 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 4^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 16 + 40 = 56$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{56}}{2 \cdot 2} = \frac{-4 \pm \sqrt{4 \cdot 14}}{4} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{14}}{4}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{14}}{2}$

Таким образом, корни уравнения:

$x_1 = \frac{-2 - \sqrt{14}}{2}$, $x_2 = \frac{-2 + \sqrt{14}}{2}$

Ответ: $\frac{-2 - \sqrt{14}}{2}$; $\frac{-2 + \sqrt{14}}{2}$.

3) $(3x - 1)(x + 4) = (2x + 3)(x + 3) - 17$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения, перемножив многочлены:

Левая часть: $(3x - 1)(x + 4) = 3x^2 + 12x - x - 4 = 3x^2 + 11x - 4$

Правая часть: $(2x + 3)(x + 3) - 17 = (2x^2 + 6x + 3x + 9) - 17 = 2x^2 + 9x + 9 - 17 = 2x^2 + 9x - 8$

Приравняем полученные выражения:

$3x^2 + 11x - 4 = 2x^2 + 9x - 8$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$3x^2 - 2x^2 + 11x - 9x - 4 + 8 = 0$

$x^2 + 2x + 4 = 0$

Попробуем решить полученное квадратное уравнение. Найдем его дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12$

Поскольку дискриминант $D < 0$, данное квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет корней.