Номер 661, страница 169 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 20. Формула корней квадратного уравнения. Упражнения - номер 661, страница 169.

Условие.

661. При каких значениях переменной:

1) значения многочленов $6x^2 - 2$ и $5 - x$ равны;

2) значение двучлена $y - 6$ равно значению трёхчлена $y^2 - 9y + 3$;

3) трёхчлены $4m^2 + 4m + 2$ и $2m^2 + 10m + 8$ принимают равные значения?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы найти значения переменной, при которых значения многочленов равны, необходимо приравнять их друг к другу и решить полученное уравнение:

$6x^2 - 2 = 5 - x$

Перенесём все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$6x^2 + x - 2 - 5 = 0$

$6x^2 + x - 7 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта. Коэффициенты: $a=6, b=1, c=-7$.

Дискриминант $D$ вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-7) = 1 + 168 = 169$

Корни уравнения находятся по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{169}}{2 \cdot 6} = \frac{-1 + 13}{12} = \frac{12}{12} = 1$

$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{169}}{2 \cdot 6} = \frac{-1 - 13}{12} = -\frac{14}{12} = -\frac{7}{6}$

Ответ: $x=1$ и $x=-\frac{7}{6}$.

2) Приравняем значение двучлена значению трёхчлена:

$y - 6 = y^2 - 9y + 3$

Перенесём все члены в правую часть, чтобы сгруппировать их в стандартное квадратное уравнение:

$0 = y^2 - 9y - y + 3 + 6$

$y^2 - 10y + 9 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Коэффициенты: $a=1, b=-10, c=9$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 100 - 36 = 64$

Найдем корни уравнения:

$y_1 = \frac{-(-10) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{10 + 8}{2} = \frac{18}{2} = 9$

$y_2 = \frac{-(-10) - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{10 - 8}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Ответ: $y=1$ и $y=9$.

3) Чтобы трёхчлены принимали равные значения, приравняем их:

$4m^2 + 4m + 2 = 2m^2 + 10m + 8$

Перенесём все члены в левую часть и приведём подобные слагаемые:

$(4m^2 - 2m^2) + (4m - 10m) + (2 - 8) = 0$

$2m^2 - 6m - 6 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения:

$m^2 - 3m - 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Коэффициенты: $a=1, b=-3, c=-3$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 9 + 12 = 21$

Найдем корни уравнения:

$m_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{21}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + \sqrt{21}}{2}$

$m_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{21}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - \sqrt{21}}{2}$

Ответ: $m = \frac{3 + \sqrt{21}}{2}$ и $m = \frac{3 - \sqrt{21}}{2}$.