Номер 3, страница 168 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 20. Формула корней квадратного уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 3, страница 168.

Условие.

3. Запишите формулу корней квадратного уравнения.

Решение 2.

Решение 8.

Квадратное уравнение — это уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $x$ — переменная, а $a$, $b$ и $c$ — числовые коэффициенты, причем старший коэффициент $a$ не должен быть равен нулю ($a \neq 0$).

Корни такого уравнения находятся с помощью специальной формулы, которая использует понятие дискриминанта. Решение состоит из двух шагов.

1. Вычисление дискриминанта (D)
Сначала необходимо вычислить значение дискриминанта по формуле, в которую подставляются коэффициенты уравнения:

$D = b^2 - 4ac$

2. Нахождение корней в зависимости от значения дискриминанта
Знак дискриминанта определяет, сколько действительных корней имеет уравнение:

• Если $D > 0$ (дискриминант положителен), уравнение имеет два различных действительных корня. Они вычисляются по общей формуле:

  $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

  Это можно записать и как две отдельные формулы для каждого корня:

  $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$ и $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$

• Если $D = 0$ (дискриминант равен нулю), уравнение имеет один действительный корень (или два совпадающих корня). Формула для его нахождения упрощается, так как $\sqrt{D} = 0$:

  $x = -\frac{b}{2a}$

• Если $D < 0$ (дискриминант отрицателен), уравнение не имеет действительных корней, так как невозможно извлечь квадратный корень из отрицательного числа в множестве действительных чисел.

Ответ:
Формула корней для квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ записывается как:
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
Эта формула используется, если ее подкоренное выражение (дискриминант $D = b^2 - 4ac$) является неотрицательным ($D \ge 0$). Если $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.