Номер 2, страница 168 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 20. Формула корней квадратного уравнения. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 2, страница 168.

Условие.

2. Как зависит количество корней квадратного уравнения от знака дискриминанта?

Решение 2.

Решение 8.

Количество корней квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ (где $a \neq 0$) полностью определяется знаком его дискриминанта. Дискриминант ($D$) вычисляется по формуле:

$D = b^2 - 4ac$

В зависимости от того, является ли дискриминант положительным, отрицательным или равным нулю, существует три возможных случая.

1. Если дискриминант больше нуля ($D > 0$)

Когда дискриминант является положительным числом, квадратное уравнение имеет два различных (неравных) действительных корня. Эти корни находятся по общей формуле:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

Мы получаем два уникальных решения, так как прибавляем и вычитаем положительное значение $\sqrt{D}$:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$

Ответ: уравнение имеет два различных действительных корня.

2. Если дискриминант равен нулю ($D = 0$)

Когда дискриминант равен нулю, квадратное уравнение имеет ровно один действительный корень. В этом случае также говорят, что уравнение имеет два совпадающих действительных корня. Формула для нахождения корней упрощается, поскольку $\sqrt{D} = \sqrt{0} = 0$:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{0}}{2a} = \frac{-b}{2a}$

Таким образом, единственный корень вычисляется по формуле:

$x = -\frac{b}{2a}$

Ответ: уравнение имеет один действительный корень (или два совпадающих корня).

3. Если дискриминант меньше нуля ($D < 0$)

Когда дискриминант является отрицательным числом, квадратное уравнение не имеет действительных (вещественных) корней. Это связано с тем, что в множестве действительных чисел невозможно извлечь квадратный корень из отрицательного числа. Выражение $\sqrt{D}$ при $D < 0$ не определено в действительных числах, и, следовательно, формула корней становится неприменимой.

(Примечание: в множестве комплексных чисел такое уравнение имеет два сопряженных комплексных корня, но в стандартном курсе алгебры рассматриваются только действительные корни).

Ответ: уравнение не имеет действительных корней.