Номер 651, страница 163 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 19. Квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравнений. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 651, страница 163.

Условие.

651. Выполните действия:

1) $ \frac{3 - 2a}{2a} - \frac{1 - a^2}{a^2} $;

2) $ \frac{a^2 - 6b^2}{3b} + 2b $;

3) $ \frac{4}{c^2 - 4c} - \frac{c + 4}{c^2 - 16} $;

4) $ \frac{56a^5}{b^4} \cdot \frac{b^2}{14b^5} $;

5) $ \frac{72a^3b}{c} : (27a^2b) $;

6) $ \frac{4a^2 - 1}{a^2 - 9} : \frac{10a + 5}{a + 3} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\frac{3-2a}{2a} - \frac{1-a^2}{a^2}$

Чтобы выполнить вычитание дробей, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для $2a$ и $a^2$ равен $2a^2$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{2a^2}{2a} = a$.

Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{2a^2}{a^2} = 2$.

Теперь выполним вычитание:

$\frac{a(3-2a)}{2a^2} - \frac{2(1-a^2)}{2a^2} = \frac{a(3-2a) - 2(1-a^2)}{2a^2} = \frac{3a - 2a^2 - 2 + 2a^2}{2a^2}$

Сократим подобные слагаемые в числителе:

$\frac{3a - 2}{2a^2}$

Ответ: $\frac{3a-2}{2a^2}$

2) $\frac{a^2-6b^2}{3b} + 2b$

Представим $2b$ в виде дроби со знаменателем $3b$:

$2b = \frac{2b \cdot 3b}{3b} = \frac{6b^2}{3b}$

Теперь сложим дроби:

$\frac{a^2-6b^2}{3b} + \frac{6b^2}{3b} = \frac{a^2-6b^2+6b^2}{3b}$

Сократим подобные слагаемые в числителе:

$\frac{a^2}{3b}$

Ответ: $\frac{a^2}{3b}$

3) $\frac{4}{c^2-4c} - \frac{c+4}{c^2-16}$

Разложим знаменатели на множители:

$c^2-4c = c(c-4)$

$c^2-16 = (c-4)(c+4)$ (по формуле разности квадратов)

Общий знаменатель: $c(c-4)(c+4)$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $c+4$.

Дополнительный множитель для второй дроби: $c$.

Приведем дроби к общему знаменателю и выполним вычитание:

$\frac{4(c+4)}{c(c-4)(c+4)} - \frac{c(c+4)}{c(c-4)(c+4)} = \frac{4(c+4)-c(c+4)}{c(c-4)(c+4)} = \frac{4c+16-c^2-4c}{c(c-4)(c+4)}$

Сократим подобные слагаемые в числителе:

$\frac{16-c^2}{c(c-4)(c+4)}$

Разложим числитель на множители по формуле разности квадратов: $16-c^2 = (4-c)(4+c)$.

$\frac{(4-c)(4+c)}{c(c-4)(c+4)}$

Заметим, что $(4-c) = -(c-4)$. Сократим дробь:

$\frac{-(c-4)(c+4)}{c(c-4)(c+4)} = -\frac{1}{c}$

Ответ: $-\frac{1}{c}$

4) $\frac{56a^5}{b^4} \cdot \frac{b^2}{14b^5}$

Выполним умножение дробей:

$\frac{56a^5 b^2}{14b^4 b^5} = \frac{56a^5 b^2}{14b^{4+5}} = \frac{56a^5 b^2}{14b^9}$

Сократим числовые коэффициенты: $\frac{56}{14} = 4$.

Сократим степени переменной $b$: $\frac{b^2}{b^9} = b^{2-9} = b^{-7} = \frac{1}{b^7}$.

В результате получаем:

$\frac{4a^5}{b^7}$

Ответ: $\frac{4a^5}{b^7}$

5) $\frac{72a^3b}{c} : (27a^2b)$

Чтобы разделить дробь на выражение, нужно умножить эту дробь на выражение, обратное делителю:

$\frac{72a^3b}{c} \cdot \frac{1}{27a^2b} = \frac{72a^3b}{27a^2bc}$

Сократим числовые коэффициенты на их наибольший общий делитель, равный 9: $\frac{72}{27} = \frac{8}{3}$.

Сократим степени переменных: $\frac{a^3}{a^2} = a^{3-2} = a$ и $\frac{b}{b} = 1$.

В результате получаем:

$\frac{8a}{3c}$

Ответ: $\frac{8a}{3c}$

6) $\frac{4a^2-1}{a^2-9} : \frac{10a+5}{a+3}$

Чтобы разделить дробь на дробь, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

$\frac{4a^2-1}{a^2-9} \cdot \frac{a+3}{10a+5}$

Разложим числители и знаменатели на множители:

$4a^2-1 = (2a-1)(2a+1)$ (разность квадратов)

$a^2-9 = (a-3)(a+3)$ (разность квадратов)

$10a+5 = 5(2a+1)$ (вынесение общего множителя)

Подставим разложенные выражения в пример:

$\frac{(2a-1)(2a+1)}{(a-3)(a+3)} \cdot \frac{a+3}{5(2a+1)}$

Сократим общие множители $(2a+1)$ и $(a+3)$:

$\frac{2a-1}{a-3} \cdot \frac{1}{5} = \frac{2a-1}{5(a-3)}$

Ответ: $\frac{2a-1}{5(a-3)}$