Номер 648, страница 163 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 19. Квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравнений. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 648, страница 163.

Условие.

648. Решите уравнение:

1) $x^2 - 7|x| = 0;$

2) $x^2 - 6|x| + x = 0;$

3) $2x^2 - \frac{3x^2}{|x|} = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $x^2 - 7|x| = 0$

Данное уравнение содержит переменную под знаком модуля. Для его решения воспользуемся свойством $x^2 = |x|^2$. Заменим $x^2$ на $|x|^2$ в исходном уравнении:

$|x|^2 - 7|x| = 0$

Теперь можно вынести общий множитель $|x|$ за скобки:

$|x|(|x| - 7) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1. Первый множитель равен нулю:

$|x| = 0$

Это уравнение имеет единственный корень $x = 0$.

2. Второй множитель равен нулю:

$|x| - 7 = 0$

$|x| = 7$

Это уравнение имеет два корня: $x = 7$ и $x = -7$.

Объединив все найденные корни, получаем окончательное решение.

Ответ: $-7; 0; 7$.

2) $x^2 - 6|x| + x = 0$

Для решения этого уравнения необходимо раскрыть модуль, рассмотрев два случая в зависимости от знака переменной $x$.

Случай 1: $x \ge 0$.

При этом условии $|x| = x$. Подставим это в уравнение:

$x^2 - 6x + x = 0$

$x^2 - 5x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x - 5) = 0$

Получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 5$. Оба значения удовлетворяют условию $x \ge 0$, следовательно, оба являются решениями исходного уравнения.

Случай 2: $x < 0$.

При этом условии $|x| = -x$. Подставим это в уравнение:

$x^2 - 6(-x) + x = 0$

$x^2 + 6x + x = 0$

$x^2 + 7x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x + 7) = 0$

Получаем два возможных корня: $x_3 = 0$ и $x_4 = -7$. Значение $x_3 = 0$ не удовлетворяет условию $x < 0$, поэтому оно не является решением в данном случае. Значение $x_4 = -7$ удовлетворяет условию $x < 0$ и является решением.

Объединяя все решения, полученные в обоих случаях, получаем полный набор корней.

Ответ: $-7; 0; 5$.

3) $2x^2 - \frac{3x^2}{|x|} = 0$

В первую очередь определим область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $|x| \neq 0$, что эквивалентно $x \neq 0$.

Упростим дробь, используя свойство $x^2 = |x|^2$:

$\frac{x^2}{|x|} = \frac{|x|^2}{|x|} = |x|$

Теперь подставим упрощенное выражение обратно в уравнение:

$2x^2 - 3|x| = 0$

Снова заменим $x^2$ на $|x|^2$:

$2|x|^2 - 3|x| = 0$

Вынесем общий множитель $|x|$ за скобки:

$|x|(2|x| - 3) = 0$

Рассмотрим два случая:

1. $|x| = 0$, что дает $x=0$. Однако это значение не входит в ОДЗ ($x \neq 0$), поэтому оно не является корнем уравнения.

2. $2|x| - 3 = 0$, откуда $2|x| = 3$, то есть $|x| = \frac{3}{2}$.

Это уравнение имеет два корня: $x_1 = \frac{3}{2}$ и $x_2 = -\frac{3}{2}$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $-\frac{3}{2}; \frac{3}{2}$.