Номер 628, страница 161 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 19. Квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравнений. Упражнения - номер 628, страница 161.

Условие.

628. Решите уравнение:

1) $(3x - 1)(x + 4) = -4;$

2) $(2x - 1)^2 - 6(6 - x) = 2x,$

3) $(x + 2)(x - 3) - (x - 5)(x + 5) = x^2 - x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $(3x - 1)(x + 4) = -4$

Раскроем скобки в левой части уравнения, умножив каждый член первой скобки на каждый член второй:
$3x \cdot x + 3x \cdot 4 - 1 \cdot x - 1 \cdot 4 = -4$
$3x^2 + 12x - x - 4 = -4$
Приведем подобные слагаемые:
$3x^2 + 11x - 4 = -4$
Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы справа остался ноль:
$3x^2 + 11x - 4 + 4 = 0$
$3x^2 + 11x = 0$
Получилось неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(3x + 11) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, имеем два случая:
1) $x_1 = 0$
2) $3x + 11 = 0 \implies 3x = -11 \implies x_2 = -\frac{11}{3}$

Ответ: $0; -\frac{11}{3}$.

2) $(2x - 1)^2 - 6(6 - x) = 2x$

Раскроем скобки. Первое слагаемое раскроем по формуле квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2 - 6(6 - x) = 2x$
$4x^2 - 4x + 1 - 36 + 6x = 2x$
Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:
$4x^2 + (-4x + 6x) + (1 - 36) = 2x$
$4x^2 + 2x - 35 = 2x$
Перенесем все члены в левую часть:
$4x^2 + 2x - 35 - 2x = 0$
$4x^2 - 35 = 0$
Это неполное квадратное уравнение. Выразим $x^2$:
$4x^2 = 35$
$x^2 = \frac{35}{4}$
Найдем корни, извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения:
$x = \pm\sqrt{\frac{35}{4}} = \pm\frac{\sqrt{35}}{2}$
$x_1 = \frac{\sqrt{35}}{2}$, $x_2 = -\frac{\sqrt{35}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{35}}{2}; -\frac{\sqrt{35}}{2}$.

3) $(x + 2)(x - 3) - (x - 5)(x + 5) = x^2 - x$

Раскроем скобки в левой части. Второе произведение $(x-5)(x+5)$ является формулой разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:
$(x^2 - 3x + 2x - 6) - (x^2 - 5^2) = x^2 - x$
$(x^2 - x - 6) - (x^2 - 25) = x^2 - x$
$x^2 - x - 6 - x^2 + 25 = x^2 - x$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$(x^2 - x^2) - x + (-6 + 25) = x^2 - x$
$-x + 19 = x^2 - x$
Перенесем все члены в правую часть:
$0 = x^2 - x - (-x + 19)$
$0 = x^2 - x + x - 19$
$0 = x^2 - 19$
Или $x^2 - 19 = 0$
Это неполное квадратное уравнение. Выразим $x^2$:
$x^2 = 19$
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$x = \pm\sqrt{19}$
$x_1 = \sqrt{19}$, $x_2 = -\sqrt{19}$

Ответ: $\sqrt{19}; -\sqrt{19}$.