Страница 187 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

770. Какой из графиков, представленных на рисунке 43, является графиком движения пешехода, который шёл с постоянной скоростью? Определите скорость движения этого пешехода.

Рис. 43

График, соответствующий движению с постоянной скоростью: б. Скорость движения: $1 \text{ км/ч}$.

а

Оси: $S, \text{ км}$; $t, \text{ ч}$

б

Оси: $S, \text{ км}$; $t, \text{ ч}$

в

Оси: $S, \text{ км}$; $t, \text{ ч}$

Для того чтобы определить, какой из графиков соответствует движению пешехода с постоянной скоростью, необходимо проанализировать каждый из них. На графиках представлена зависимость пройденного пути $S$ (в километрах) от времени $t$ (в часах). Движение с постоянной скоростью означает, что за равные промежутки времени пешеход проходит равные расстояния. Графически такая зависимость ($S = v \cdot t$) представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат (если движение началось из точки отсчета), где $v$ — постоянная скорость.

а) На графике а изображена горизонтальная прямая линия при $S=2$ км. Это означает, что расстояние не изменяется со временем. Тело находится в состоянии покоя, его скорость равна нулю ($v=0$). Этот график не соответствует условию задачи.

б) На графике б изображена прямая линия, выходящая из начала координат ($t=0, S=0$) и идущая вверх. Это означает, что зависимость между пройденным путем и временем — линейная. Такой график как раз и описывает движение с постоянной скоростью.

в) На графике в изображена кривая линия (ветвь параболы). Наклон этой кривой увеличивается с течением времени. Поскольку наклон графика зависимости пути от времени представляет собой скорость, это означает, что скорость пешехода растет. Такое движение является ускоренным, а не с постоянной скоростью.

Таким образом, графиком движения пешехода с постоянной скоростью является график б.

Теперь определим скорость движения этого пешехода по данным графика б. Скорость $v$ можно рассчитать по формуле:

$v = \frac{S}{t}$

Выберем на графике б любую удобную точку для расчета. Например, в момент времени $t = 1$ ч пройденный путь составляет $S = 2$ км.

Подставим значения в формулу:

$v = \frac{2 \text{ км}}{1 \text{ ч}} = 2 \text{ км/ч}$

Для проверки можно взять другую точку, например, $t = 2$ ч, которой соответствует путь $S = 4$ км:

$v = \frac{4 \text{ км}}{2 \text{ ч}} = 2 \text{ км/ч}$

Скорость пешехода постоянна.

Ответ: Графиком движения пешехода с постоянной скоростью является график б. Скорость движения этого пешехода составляет 2 км/ч.

771. Смешали 2 л молока жирностью 8 % и 3 л молока жирностью 6 %.

Какова жирность полученной смеси?

Для того чтобы найти жирность полученной смеси, необходимо рассчитать общее количество (объем) жира и общий объем смеси. Жирность смеси — это отношение общего количества жира к общему объему, выраженное в процентах.

1. Найдем объем жира в первой порции молока: 2 литра с жирностью 8%. Для этого умножим объем молока на долю жира (8% = 0.08).
$2 \text{ л} \times 0.08 = 0.16 \text{ л}$

2. Найдем объем жира во второй порции молока: 3 литра с жирностью 6%. Для этого умножим объем молока на долю жира (6% = 0.06).
$3 \text{ л} \times 0.06 = 0.18 \text{ л}$

3. Сложим объемы жира, чтобы найти общее количество жира в смеси:
$0.16 \text{ л} + 0.18 \text{ л} = 0.34 \text{ л}$

4. Сложим объемы молока, чтобы найти общий объем смеси:
$2 \text{ л} + 3 \text{ л} = 5 \text{ л}$

5. Рассчитаем процентное содержание жира (жирность) в полученной смеси. Для этого разделим общий объем жира на общий объем смеси и умножим на 100%.
$\frac{0.34 \text{ л}}{5 \text{ л}} \times 100\% = 0.068 \times 100\% = 6.8\%$

Эту задачу также можно решить, используя формулу средневзвешенного значения, где в качестве весов выступают объемы молока:
$\text{Жирность} = \frac{V_1 \cdot p_1 + V_2 \cdot p_2}{V_1 + V_2} = \frac{2 \cdot 8\% + 3 \cdot 6\%}{2 + 3} = \frac{16 + 18}{5}\% = \frac{34}{5}\% = 6.8\%$

Ответ: жирность полученной смеси составляет 6.8%.

772. Решите уравнение:

1) $x^2 = 9;$

2) $x^2 = -9;$

3) $(4x + 1)^2 = 9;$

4) $(x - 1)^2 = 5;$

5) $\sqrt{x} = 9;$

6) $\sqrt{x} = -9.$

1) $x^2 = 9$

Чтобы решить это уравнение, извлечем квадратный корень из обеих частей. Помним, что у положительного числа есть два квадратных корня: положительный и отрицательный.

$x = \pm\sqrt{9}$

$x = \pm3$

Таким образом, у уравнения два корня: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

Ответ: $-3; 3$.

2) $x^2 = -9$

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Поскольку в левой части уравнения стоит $x^2$ (которое всегда больше или равно нулю для любого действительного $x$), а в правой части — отрицательное число $-9$, данное уравнение не имеет решений в множестве действительных чисел.

Ответ: корней нет.

3) $(4x + 1)^2 = 9$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения.

$4x + 1 = \pm\sqrt{9}$

$4x + 1 = \pm3$

Это приводит к двум отдельным линейным уравнениям:

Первый случай:
$4x + 1 = 3$
$4x = 3 - 1$
$4x = 2$
$x = \frac{2}{4} = 0.5$

Второй случай:
$4x + 1 = -3$
$4x = -3 - 1$
$4x = -4$
$x = -1$

Ответ: $-1; 0.5$.

4) $(x - 1)^2 = 5$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения.

$x - 1 = \pm\sqrt{5}$

Это также приводит к двум решениям. Выразим $x$:

Первый случай:
$x - 1 = \sqrt{5}$
$x = 1 + \sqrt{5}$

Второй случай:
$x - 1 = -\sqrt{5}$
$x = 1 - \sqrt{5}$

Ответ: $1 - \sqrt{5}; 1 + \sqrt{5}$.

5) $\sqrt{x} = 9$

Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в квадрат. Область допустимых значений для этого уравнения — $x \ge 0$.

$(\sqrt{x})^2 = 9^2$

$x = 81$

Проверка: $\sqrt{81} = 9$. Решение верное, так как $81 \ge 0$.

Ответ: $81$.

6) $\sqrt{x} = -9$

По определению, арифметический квадратный корень ($\sqrt{x}$) — это неотрицательное число. То есть, $\sqrt{x} \ge 0$ для любого $x$ из области определения.

Так как в правой части уравнения стоит отрицательное число $-9$, а в левой — неотрицательное значение, равенство невозможно. Следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: корней нет.

773. Решите уравнение:

1) $\frac{4x - 1}{x - 2} = \frac{x + 5}{x - 2};$

2) $\frac{2y^2 - 3y - 20}{y - 4} = 1;$

3) $\frac{5x - 3}{x + 1} - \frac{4x - 2}{x + 2} = 1;$

4) $\frac{1}{y - 5} - \frac{1}{y + 4} = \frac{9}{(y - 5)(y + 4)}.$

1) $\frac{4x-1}{x-2} = \frac{x+5}{x-2}$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель не может быть равен нулю:
$x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$.

Поскольку знаменатели дробей в уравнении равны, мы можем приравнять их числители, при условии, что $x$ входит в ОДЗ:
$4x - 1 = x + 5$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения, а числовые слагаемые — в правую:
$4x - x = 5 + 1$
$3x = 6$

Разделим обе части уравнения на 3, чтобы найти $x$:
$x = \frac{6}{3}$
$x = 2$

Сравним полученный корень с ОДЗ. Мы получили $x = 2$, но согласно ОДЗ $x \neq 2$. Это означает, что найденное значение является посторонним корнем, и данное уравнение не имеет решений.

Ответ: корней нет.

2) $\frac{2y^2 - 3y - 20}{y - 4} - y = 1$

Определим ОДЗ. Знаменатель не должен равняться нулю:
$y - 4 \neq 0 \implies y \neq 4$.

Перенесем $-y$ в правую часть уравнения:
$\frac{2y^2 - 3y - 20}{y - 4} = y + 1$

Умножим обе части уравнения на знаменатель $(y-4)$, так как по ОДЗ он не равен нулю:
$2y^2 - 3y - 20 = (y + 1)(y - 4)$

Раскроем скобки в правой части уравнения:
$2y^2 - 3y - 20 = y^2 - 4y + y - 4$
$2y^2 - 3y - 20 = y^2 - 3y - 4$

Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем подобные слагаемые:
$2y^2 - y^2 - 3y + 3y - 20 + 4 = 0$
$y^2 - 16 = 0$

Разложим левую часть на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$(y - 4)(y + 4) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$y - 4 = 0 \implies y_1 = 4$
$y + 4 = 0 \implies y_2 = -4$

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ. Корень $y_1 = 4$ не удовлетворяет условию $y \neq 4$, следовательно, это посторонний корень. Корень $y_2 = -4$ удовлетворяет ОДЗ и является решением уравнения.

Ответ: -4.

3) $\frac{5x-3}{x+1} - \frac{4x-2}{x+2} = 1$

Определим ОДЗ, исключив значения $x$, при которых знаменатели обращаются в ноль:
$x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1$
$x + 2 \neq 0 \implies x \neq -2$

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x+1)(x+2)$:
$\frac{(5x-3)(x+1)(x+2)}{x+1} - \frac{(4x-2)(x+1)(x+2)}{x+2} = 1 \cdot (x+1)(x+2)$
$(5x-3)(x+2) - (4x-2)(x+1) = (x+1)(x+2)$

Раскроем скобки в каждой части уравнения:
$(5x^2 + 10x - 3x - 6) - (4x^2 + 4x - 2x - 2) = (x^2 + 2x + x + 2)$
$(5x^2 + 7x - 6) - (4x^2 + 2x - 2) = x^2 + 3x + 2$

Раскроем вторые скобки в левой части, меняя знаки:
$5x^2 + 7x - 6 - 4x^2 - 2x + 2 = x^2 + 3x + 2$

Приведем подобные слагаемые в левой части:
$x^2 + 5x - 4 = x^2 + 3x + 2$

Перенесем все слагаемые в левую часть:
$x^2 - x^2 + 5x - 3x - 4 - 2 = 0$
$2x - 6 = 0$

Решим полученное линейное уравнение:
$2x = 6$
$x = 3$

Корень $x=3$ удовлетворяет ОДЗ ($x \neq -1$ и $x \neq -2$), поэтому является решением.

Ответ: 3.

4) $\frac{1}{y-5} - \frac{1}{y+4} = \frac{9}{(y-5)(y+4)}$

Определим ОДЗ:
$y - 5 \neq 0 \implies y \neq 5$
$y + 4 \neq 0 \implies y \neq -4$

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $(y-5)(y+4)$:
$\frac{1 \cdot (y+4)}{(y-5)(y+4)} - \frac{1 \cdot (y-5)}{(y-5)(y+4)} = \frac{9}{(y-5)(y+4)}$
$\frac{(y+4) - (y-5)}{(y-5)(y+4)} = \frac{9}{(y-5)(y+4)}$

Упростим числитель в левой части:
$\frac{y+4 - y+5}{(y-5)(y+4)} = \frac{9}{(y-5)(y+4)}$
$\frac{9}{(y-5)(y+4)} = \frac{9}{(y-5)(y+4)}$

Мы получили тождество, то есть верное равенство, которое не зависит от значения переменной $y$. Это означает, что решением уравнения являются все значения $y$ из области допустимых значений.

Ответ: все числа, кроме $y=5$ и $y=-4$.

774. Рассматриваются все прямоугольники, длины сторон которых – натуральные числа. Каких прямоугольников больше: с периметром 1000 или с периметром 1002?

Для решения задачи найдем количество уникальных прямоугольников для каждого из заданных периметров.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. По условию, $a$ и $b$ — натуральные числа ($a \ge 1, b \ge 1$). Периметр $P$ вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$. Количество различных прямоугольников равно количеству уникальных пар сторон $\{a, b\}$. Так как порядок сторон не важен (прямоугольник со сторонами $a, b$ такой же, как и со сторонами $b, a$), мы можем для удобства и во избежание двойного счета принять, что $a \le b$.

Прямоугольники с периметром 1000

Для периметра $P = 1000$ имеем уравнение $2(a+b) = 1000$, что равносильно $a+b=500$. Мы ищем количество пар натуральных чисел $(a, b)$, удовлетворяющих этому уравнению при условии $a \le b$. Из $a \le b$ и $a+b=500$ следует, что $a+a \le a+b$, то есть $2a \le 500$, откуда $a \le 250$. Поскольку $a$ должно быть натуральным числом, оно может принимать любое целое значение в диапазоне $1 \le a \le 250$. Каждому такому значению $a$ соответствует единственное значение $b=500-a$, которое также является натуральным числом и удовлетворяет условию $b \ge a$. Таким образом, количество возможных значений для стороны $a$ равно 250, что и является количеством различных прямоугольников с периметром 1000.

Прямоугольники с периметром 1002

Для периметра $P = 1002$ уравнение для сторон будет $2(a+b) = 1002$, что равносильно $a+b=501$. Используем тот же подход: ищем количество пар натуральных чисел $(a, b)$, для которых $a+b=501$ и $a \le b$. Из $a \le b$ и $a+b=501$ следует, что $2a \le 501$, откуда $a \le 250.5$. Так как $a$ — целое число, оно может принимать любые значения в диапазоне $1 \le a \le 250$. Каждому такому значению $a$ соответствует единственное значение $b=501-a$. Количество возможных значений для стороны $a$ равно 250. Следовательно, существует 250 различных прямоугольников с периметром 1002.

Сравнение и вывод

Количество прямоугольников с периметром 1000 равно 250. Количество прямоугольников с периметром 1002 также равно 250. Следовательно, количество прямоугольников в обоих случаях одинаково.

Ответ: Прямоугольников с периметром 1000 и с периметром 1002 одинаковое количество.