Страница 193 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

796. Для каждого значения a решите уравнение:

1) $\frac{x^2 - 8x + 7}{x - a} = 0;$

2) $\frac{x - a}{x^2 - 8x + 7} = 0;$

3) $\frac{x^2 - (3a + 2)x + 6a}{x - 6} = 0;$

4) $\frac{a(x - a)}{x + 3} = 0.$

1) Дано уравнение $\frac{x^2 - 8x + 7}{x - a} = 0$.
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это приводит к системе условий:
$ \begin{cases} x^2 - 8x + 7 = 0 \\ x - a \neq 0 \end{cases} $
Сначала решим квадратное уравнение $x^2 - 8x + 7 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна 8, а произведение равно 7. Отсюда находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 7$.
Теперь нужно учесть условие $x - a \neq 0$, то есть $x \neq a$.
Рассмотрим различные значения параметра $a$:
- Если $a = 1$, то корень $x = 1$ не является решением уравнения, так как знаменатель обращается в ноль. В этом случае единственным решением является $x = 7$.
- Если $a = 7$, то корень $x = 7$ не является решением. Единственным решением является $x = 1$.
- Если $a \neq 1$ и $a \neq 7$, то оба корня, $x = 1$ и $x = 7$, являются решениями уравнения.

Ответ: если $a=1$, то $x=7$; если $a=7$, то $x=1$; если $a \neq 1$ и $a \neq 7$, то $x_1=1$, $x_2=7$.

2) Дано уравнение $\frac{x - a}{x^2 - 8x + 7} = 0$.
Уравнение равносильно системе:
$ \begin{cases} x - a = 0 \\ x^2 - 8x + 7 \neq 0 \end{cases} $
Из первого уравнения следует, что $x = a$.
Из второго условия, зная корни уравнения $x^2 - 8x + 7 = 0$ из предыдущего пункта, получаем, что $x \neq 1$ и $x \neq 7$.
Решение $x=a$ будет корнем исходного уравнения, если оно не совпадает ни с одним из запрещенных значений.
- Если $a = 1$, то потенциальный корень $x = 1$ запрещен. Уравнение не имеет решений.
- Если $a = 7$, то потенциальный корень $x = 7$ запрещен. Уравнение не имеет решений.
- Если $a \neq 1$ и $a \neq 7$, то корень $x = a$ является решением.

Ответ: если $a=1$ или $a=7$, то корней нет; если $a \neq 1$ и $a \neq 7$, то $x=a$.

3) Дано уравнение $\frac{x^2 - (3a + 2)x + 6a}{x - 6} = 0$.
Уравнение равносильно системе:
$ \begin{cases} x^2 - (3a + 2)x + 6a = 0 \\ x - 6 \neq 0 \end{cases} $
Решим квадратное уравнение $x^2 - (3a + 2)x + 6a = 0$.
Найдем дискриминант: $D = (-(3a+2))^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6a = 9a^2 + 12a + 4 - 24a = 9a^2 - 12a + 4 = (3a-2)^2$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{3a+2 - \sqrt{(3a-2)^2}}{2} = \frac{3a+2 - (3a-2)}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
$x_2 = \frac{3a+2 + \sqrt{(3a-2)^2}}{2} = \frac{3a+2 + 3a-2}{2} = \frac{6a}{2} = 3a$.
Таким образом, потенциальные корни $x = 2$ и $x = 3a$.
Теперь учтем условие $x \neq 6$.
Корень $x = 2$ всегда является решением, так как $2 \neq 6$.
Рассмотрим корень $x = 3a$. Он не является решением, если $3a = 6$, то есть $a=2$.
- Если $a = 2$, то корень $x = 3a = 6$ отбрасывается. Остается единственный корень $x=2$.
- Если $a \neq 2$, то оба значения, $x=2$ и $x=3a$, являются корнями. При $a=2/3$ эти корни совпадают ($x=2$), что не меняет ответа.

Ответ: если $a=2$, то $x=2$; если $a \neq 2$, то $x_1=2$, $x_2=3a$.

4) Дано уравнение $\frac{a(x - a)}{x + 3} = 0$.
Уравнение равносильно системе:
$ \begin{cases} a(x-a) = 0 \\ x + 3 \neq 0 \end{cases} $
Условие на знаменатель: $x \neq -3$.
Рассмотрим уравнение для числителя $a(x-a) = 0$. Решение зависит от значения параметра $a$.
- Случай 1: $a = 0$.
Уравнение принимает вид $\frac{0 \cdot (x - 0)}{x + 3} = 0$, то есть $\frac{0}{x+3} = 0$.
Это равенство верно для всех значений $x$, при которых знаменатель не равен нулю. То есть, для всех $x \neq -3$.
- Случай 2: $a \neq 0$.
В этом случае, чтобы произведение $a(x-a)$ было равно нулю, необходимо, чтобы $x-a = 0$, откуда $x=a$.
Это решение является корнем исходного уравнения, если оно удовлетворяет условию $x \neq -3$, то есть $a \neq -3$.
-- Если $a = -3$ (и $a \neq 0$), то корень $x = -3$ не подходит. В этом случае решений нет.
-- Если $a \neq 0$ и $a \neq -3$, то решением является $x=a$.

Ответ: если $a=0$, то $x$ — любое число, кроме $-3$; если $a=-3$, то корней нет; если $a \neq 0$ и $a \neq -3$, то $x=a$.

797. При каких значениях $a$ уравнение $\frac{x^2 - ax + 5}{x - 1} = 0$ имеет единственный корень?

Данное уравнение $\frac{x^2-ax+5}{x-1}=0$ равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 - ax + 5 = 0, \\ x - 1 \neq 0. \end{cases}$

Из второго условия системы следует, что $x \neq 1$. Исходное уравнение будет иметь единственный корень, если система будет иметь единственное решение. Это возможно в двух случаях.

Случай 1: Квадратное уравнение $x^2 - ax + 5 = 0$ имеет один корень, и этот корень не равен 1.

Квадратное уравнение имеет один корень (является полным квадратом), если его дискриминант равен нулю.

Найдем дискриминант уравнения $x^2 - ax + 5 = 0$:

$D = (-a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = a^2 - 20$.

Приравняем дискриминант к нулю:

$a^2 - 20 = 0$

$a^2 = 20$

$a = \pm\sqrt{20} = \pm 2\sqrt{5}$

При $D=0$ корень уравнения находится по формуле $x = \frac{-(-a)}{2 \cdot 1} = \frac{a}{2}$.

Проверим, что этот корень не равен 1 для найденных значений $a$:

Если $a = 2\sqrt{5}$, то $x = \frac{2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}$. Так как $\sqrt{5} \neq 1$, это значение $a$ подходит.

Если $a = -2\sqrt{5}$, то $x = \frac{-2\sqrt{5}}{2} = -\sqrt{5}$. Так как $-\sqrt{5} \neq 1$, это значение $a$ также подходит.

Таким образом, из первого случая мы получили два значения: $a = 2\sqrt{5}$ и $a = -2\sqrt{5}$.

Случай 2: Квадратное уравнение $x^2 - ax + 5 = 0$ имеет два различных корня, один из которых равен 1.

Уравнение имеет два различных корня, если его дискриминант больше нуля: $D = a^2 - 20 > 0$.

Если один из корней равен 1, то при подстановке $x=1$ в уравнение $x^2 - ax + 5 = 0$ мы должны получить верное равенство:

$1^2 - a \cdot 1 + 5 = 0$

$1 - a + 5 = 0$

$6 - a = 0$

$a = 6$

Проверим, удовлетворяет ли это значение $a$ условию $D > 0$.

При $a=6$, $D = 6^2 - 20 = 36 - 20 = 16$. Так как $16 > 0$, условие выполняется.

При $a=6$ уравнение числителя $x^2 - 6x + 5 = 0$ имеет корни $x_1 = \frac{6-\sqrt{16}}{2} = \frac{2}{2}=1$ и $x_2 = \frac{6+\sqrt{16}}{2} = \frac{10}{2}=5$.

Корень $x=1$ является посторонним для исходного уравнения из-за условия $x \neq 1$. Следовательно, при $a=6$ исходное уравнение имеет единственный корень $x=5$.

Таким образом, значение $a=6$ также является решением.

Объединяя результаты обоих случаев, получаем все искомые значения параметра $a$.

Ответ: $a \in \{-2\sqrt{5}; 2\sqrt{5}; 6\}$.

798. Верно ли утверждение, что при всех допустимых значениях переменной значение выражения

$(a-1)^2 \left( \frac{1}{a^2-1} + \frac{1}{a^2-2a+1} \right) + \frac{2}{a+1}$

является положительным числом?

Для того чтобы проверить истинность утверждения, необходимо упростить данное алгебраическое выражение и проанализировать результат. Прежде всего, найдем область допустимых значений (ОДЗ) переменной a.

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ)

Выражение определено, когда все его знаменатели не равны нулю. Найдем значения a, которые нужно исключить:

• $a^2 - 1 = 0 \implies (a-1)(a+1) = 0 \implies a = 1$ или $a = -1$.
• $a^2 - 2a + 1 = 0 \implies (a-1)^2 = 0 \implies a = 1$.
• $a + 1 = 0 \implies a = -1$.

Таким образом, область допустимых значений — это все действительные числа, кроме $a=1$ и $a=-1$.

2. Упрощение выражения

Рассмотрим выражение: $ (a-1)^2 \left( \frac{1}{a^2-1} + \frac{1}{a^2-2a+1} \right) + \frac{2}{a+1} $.

Сначала преобразуем знаменатели дробей в скобках, используя формулы сокращенного умножения: разность квадратов и квадрат разности.

$a^2 - 1 = (a-1)(a+1)$

$a^2 - 2a + 1 = (a-1)^2$

Подставим эти разложения в исходное выражение:

$ (a-1)^2 \left( \frac{1}{(a-1)(a+1)} + \frac{1}{(a-1)^2} \right) + \frac{2}{a+1} $

Теперь приведем дроби в скобках к общему знаменателю, который равен $(a-1)^2(a+1)$:

$ (a-1)^2 \left( \frac{1 \cdot (a-1)}{(a-1)^2(a+1)} + \frac{1 \cdot (a+1)}{(a-1)^2(a+1)} \right) + \frac{2}{a+1} $

Выполним сложение в числителе дроби в скобках:

$ (a-1)^2 \left( \frac{a-1+a+1}{(a-1)^2(a+1)} \right) + \frac{2}{a+1} = (a-1)^2 \cdot \frac{2a}{(a-1)^2(a+1)} + \frac{2}{a+1} $

Сократим множитель $(a-1)^2$, так как в ОДЗ $a \neq 1$:

$ \frac{2a}{a+1} + \frac{2}{a+1} $

Сложим дроби с одинаковым знаменателем:

$ \frac{2a+2}{a+1} $

Вынесем общий множитель 2 в числителе:

$ \frac{2(a+1)}{a+1} $

Сократим дробь на $(a+1)$, так как в ОДЗ $a \neq -1$:

$ 2 $

3. Вывод

В результате упрощения мы установили, что при всех допустимых значениях переменной a ($a \neq 1$ и $a \neq -1$) значение исходного выражения тождественно равно 2.

Число 2 является положительным числом ($2 > 0$).

Следовательно, утверждение, что при всех допустимых значениях переменной значение выражения является положительным числом, верно.

Ответ: Да, утверждение верно, так как при всех допустимых значениях переменной значение выражения равно 2, а 2 — положительное число.

799. Каким числом, рациональным или иррациональным, является значение выражения $\frac{\sqrt{6}+2}{\sqrt{6}-2} - \frac{\sqrt{6}-2}{\sqrt{6}+2}$?

Чтобы определить, является ли значение данного выражения рациональным или иррациональным числом, необходимо упростить его. Для этого приведем дроби к общему знаменателю.

Исходное выражение:

$$ \frac{\sqrt{6}+2}{\sqrt{6}-2} - \frac{\sqrt{6}-2}{\sqrt{6}+2} $$

Общий знаменатель для этих дробей — это произведение их знаменателей: $(\sqrt{6}-2)(\sqrt{6}+2)$. Выполним вычитание дробей, приведя их к общему знаменателю:

$$ \frac{(\sqrt{6}+2)(\sqrt{6}+2)}{(\sqrt{6}-2)(\sqrt{6}+2)} - \frac{(\sqrt{6}-2)(\sqrt{6}-2)}{(\sqrt{6}+2)(\sqrt{6}-2)} = \frac{(\sqrt{6}+2)^2 - (\sqrt{6}-2)^2}{(\sqrt{6}-2)(\sqrt{6}+2)} $$

Упростим знаменатель, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$$ (\sqrt{6}-2)(\sqrt{6}+2) = (\sqrt{6})^2 - 2^2 = 6 - 4 = 2 $$

Теперь упростим числитель. Это можно сделать двумя способами.

Способ 1: Используя формулы квадрата суммы и квадрата разности.

$$ (\sqrt{6}+2)^2 = (\sqrt{6})^2 + 2 \cdot \sqrt{6} \cdot 2 + 2^2 = 6 + 4\sqrt{6} + 4 = 10 + 4\sqrt{6} $$

$$ (\sqrt{6}-2)^2 = (\sqrt{6})^2 - 2 \cdot \sqrt{6} \cdot 2 + 2^2 = 6 - 4\sqrt{6} + 4 = 10 - 4\sqrt{6} $$

Вычитаем одно из другого:

$$ (10 + 4\sqrt{6}) - (10 - 4\sqrt{6}) = 10 + 4\sqrt{6} - 10 + 4\sqrt{6} = 8\sqrt{6} $$

Способ 2: Используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для числителя.

$$ (\sqrt{6}+2)^2 - (\sqrt{6}-2)^2 = ((\sqrt{6}+2) - (\sqrt{6}-2)) \cdot ((\sqrt{6}+2) + (\sqrt{6}-2)) $$

Упростим каждую скобку:

$$ (\sqrt{6}+2 - \sqrt{6}+2) \cdot (\sqrt{6}+2 + \sqrt{6}-2) = (4) \cdot (2\sqrt{6}) = 8\sqrt{6} $$

Оба способа дают одинаковый результат для числителя: $8\sqrt{6}$.

Теперь подставим упрощенные числитель и знаменатель обратно в выражение:

$$ \frac{8\sqrt{6}}{2} = 4\sqrt{6} $$

Полученное число $4\sqrt{6}$ является произведением рационального числа $4$ и иррационального числа $\sqrt{6}$ (поскольку $6$ не является полным квадратом). Произведение ненулевого рационального числа на иррациональное всегда является иррациональным числом. Следовательно, значение исходного выражения — иррациональное число.

Ответ: иррациональное число.

800. Постройте график функции:

$y = \begin{cases} -\frac{8}{x}, \text{ если } x < -2, \\ x^2, \text{ если } x \ge -2. \end{cases}$

Данная функция является кусочно-заданной. Чтобы построить ее график, необходимо построить график каждой из функций на указанном для нее промежутке.

$y = \begin{cases} -\frac{8}{x}, & \text{если } x < -2 \\ x^2, & \text{если } x \ge -2 \end{cases}$

Построение графика функции $y = -\frac{8}{x}$ при $x < -2$

Графиком функции $y = -\frac{8}{x}$ является гипербола. Так как коэффициент $-8$ отрицательный, ветви гиперболы расположены во второй и четвертой координатных четвертях. Нас интересует часть графика, где $x < -2$, то есть часть ветви, расположенной во второй четверти.

Для построения составим таблицу значений для нескольких точек, удовлетворяющих условию $x < -2$:

Поскольку неравенство $x < -2$ строгое, граничная точка не входит в эту часть графика. Найдем ее координаты, чтобы обозначить "выколотой" точкой (пустым кружком):
При $x = -2$, $y = -\frac{8}{-2} = 4$.
Таким образом, на границе имеем выколотую точку с координатами $(-2; 4)$.

Построение графика функции $y = x^2$ при $x \ge -2$

Графиком функции $y = x^2$ является парабола с вершиной в точке $(0;0)$ и ветвями, направленными вверх. Нас интересует часть этой параболы, где $x \ge -2$.

Составим таблицу значений для этой части графика:

Поскольку неравенство $x \ge -2$ нестрогое, граничная точка принадлежит графику. Ее координаты:
При $x = -2$, $y = (-2)^2 = 4$.
Точка $(-2; 4)$ является частью графика и будет обозначена закрашенным кружком.

Объединение графиков

Совмещаем построенные части на одной координатной плоскости. "Выколотая" точка $(-2; 4)$ от графика гиперболы совпадает с "закрашенной" точкой $(-2; 4)$ от графика параболы. В результате "закрашенная" точка "заполняет" "выколотую", и график функции становится непрерывным в точке $x = -2$.

Итоговый график состоит из ветви гиперболы слева от $x=-2$ и части параболы справа от $x=-2$, соединенных в точке $(-2; 4)$.

Ответ: График функции построен. Он представляет собой непрерывную кривую, которая для $x < -2$ является ветвью гиперболы $y = -\frac{8}{x}$, а для $x \ge -2$ — частью параболы $y = x^2$. Точка "стыка" двух частей графика — $(-2; 4)$.

801. На экране монитора компьютера записано число 1. Ежесекундно компьютер прибавляет к числу, находящемуся на экране, сумму его цифр. Может ли через некоторое время на экране появиться число 123 456 789?

Для решения этой задачи воспользуемся свойством делимости чисел на 3. Как известно, любое натуральное число и сумма его цифр имеют одинаковые остатки при делении на 3. Это свойство можно записать с помощью сравнений по модулю:

Если $N$ — это число, а $S(N)$ — сумма его цифр, то $N \equiv S(N) \pmod{3}$.

Согласно условию задачи, на каждом шаге к текущему числу на экране $N_k$ прибавляется сумма его цифр $S(N_k)$, чтобы получить следующее число $N_{k+1}$: $N_{k+1} = N_k + S(N_k)$.

Рассмотрим, как меняется остаток от деления на 3 для чисел в этой последовательности. $N_{k+1} \pmod{3} \equiv (N_k + S(N_k)) \pmod{3}$.

Поскольку $N_k \equiv S(N_k) \pmod{3}$, мы можем подставить $N_k$ вместо $S(N_k)$ в правую часть сравнения: $N_{k+1} \pmod{3} \equiv (N_k + N_k) \pmod{3}$, что эквивалентно $N_{k+1} \equiv 2N_k \pmod{3}$.

Теперь проследим за последовательностью остатков, начиная с исходного числа $N_0 = 1$:

• Шаг 0: Начальное число $N_0 = 1$. Его остаток при делении на 3 равен 1. $N_0 \equiv 1 \pmod{3}$.
• Шаг 1: Следующее число $N_1 = 1 + S(1) = 2$. Его остаток при делении на 3 равен 2. $N_1 \equiv 2 \pmod{3}$. По формуле: $N_1 \equiv 2N_0 \equiv 2 \cdot 1 \equiv 2 \pmod{3}$.
• Шаг 2: Следующее число $N_2 = 2 + S(2) = 4$. Его остаток при делении на 3 равен 1. $N_2 \equiv 1 \pmod{3}$. По формуле: $N_2 \equiv 2N_1 \equiv 2 \cdot 2 = 4 \equiv 1 \pmod{3}$.
• Шаг 3: Следующее число $N_3 = 4 + S(4) = 8$. Его остаток при делении на 3 равен 2. $N_3 \equiv 2 \pmod{3}$. По формуле: $N_3 \equiv 2N_2 \equiv 2 \cdot 1 \equiv 2 \pmod{3}$.

Как видно, остатки от деления на 3 для чисел, появляющихся на экране, циклически чередуются: 1, 2, 1, 2, ... Таким образом, ни одно из чисел в этой последовательности не делится на 3 нацело (то есть не имеет остаток 0 при делении на 3).

Теперь проверим целевое число $123\,456\,789$. Найдем сумму его цифр: $S(123\,456\,789) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45$.

Число 45 делится на 3 без остатка ($45 = 3 \cdot 15$). Следовательно, и само число $123\,456\,789$ делится на 3, то есть $123\,456\,789 \equiv 0 \pmod{3}$.

Поскольку все числа, которые могут появиться на экране, при делении на 3 дают в остатке 1 или 2, а число $123\,456\,789$ делится на 3 без остатка, оно никогда не может появиться на экране в результате описанной операции.

Ответ: Нет, не может.