Номер 801, страница 193 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 23. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям. Упражнения - номер 801, страница 193.

Условие.

801. На экране монитора компьютера записано число 1. Ежесекундно компьютер прибавляет к числу, находящемуся на экране, сумму его цифр. Может ли через некоторое время на экране появиться число 123 456 789?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством делимости чисел на 3. Как известно, любое натуральное число и сумма его цифр имеют одинаковые остатки при делении на 3. Это свойство можно записать с помощью сравнений по модулю:

Если $N$ — это число, а $S(N)$ — сумма его цифр, то $N \equiv S(N) \pmod{3}$.

Согласно условию задачи, на каждом шаге к текущему числу на экране $N_k$ прибавляется сумма его цифр $S(N_k)$, чтобы получить следующее число $N_{k+1}$: $N_{k+1} = N_k + S(N_k)$.

Рассмотрим, как меняется остаток от деления на 3 для чисел в этой последовательности. $N_{k+1} \pmod{3} \equiv (N_k + S(N_k)) \pmod{3}$.

Поскольку $N_k \equiv S(N_k) \pmod{3}$, мы можем подставить $N_k$ вместо $S(N_k)$ в правую часть сравнения: $N_{k+1} \pmod{3} \equiv (N_k + N_k) \pmod{3}$, что эквивалентно $N_{k+1} \equiv 2N_k \pmod{3}$.

Теперь проследим за последовательностью остатков, начиная с исходного числа $N_0 = 1$:

• Шаг 0: Начальное число $N_0 = 1$. Его остаток при делении на 3 равен 1. $N_0 \equiv 1 \pmod{3}$.
• Шаг 1: Следующее число $N_1 = 1 + S(1) = 2$. Его остаток при делении на 3 равен 2. $N_1 \equiv 2 \pmod{3}$. По формуле: $N_1 \equiv 2N_0 \equiv 2 \cdot 1 \equiv 2 \pmod{3}$.
• Шаг 2: Следующее число $N_2 = 2 + S(2) = 4$. Его остаток при делении на 3 равен 1. $N_2 \equiv 1 \pmod{3}$. По формуле: $N_2 \equiv 2N_1 \equiv 2 \cdot 2 = 4 \equiv 1 \pmod{3}$.
• Шаг 3: Следующее число $N_3 = 4 + S(4) = 8$. Его остаток при делении на 3 равен 2. $N_3 \equiv 2 \pmod{3}$. По формуле: $N_3 \equiv 2N_2 \equiv 2 \cdot 1 \equiv 2 \pmod{3}$.

Как видно, остатки от деления на 3 для чисел, появляющихся на экране, циклически чередуются: 1, 2, 1, 2, ... Таким образом, ни одно из чисел в этой последовательности не делится на 3 нацело (то есть не имеет остаток 0 при делении на 3).

Теперь проверим целевое число $123\,456\,789$. Найдем сумму его цифр: $S(123\,456\,789) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45$.

Число 45 делится на 3 без остатка ($45 = 3 \cdot 15$). Следовательно, и само число $123\,456\,789$ делится на 3, то есть $123\,456\,789 \equiv 0 \pmod{3}$.

Поскольку все числа, которые могут появиться на экране, при делении на 3 дают в остатке 1 или 2, а число $123\,456\,789$ делится на 3 без остатка, оно никогда не может появиться на экране в результате описанной операции.

Ответ: Нет, не может.