Номер 802, страница 199 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 24. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 802, страница 199.

Условие.

802. Первые 150 км дороги из города A в город B автомобиль проехал с некоторой скоростью, а остальные 240 км – со скоростью на $5 \text{ км/ч}$ большей. Найдите первоначальную скорость автомобиля, если на весь путь из города A в город B он потратил 5 ч.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть первоначальная скорость автомобиля равна $x$ км/ч. На первых 150 км пути автомобиль ехал с этой скоростью.

На оставшихся 240 км пути скорость автомобиля была на 5 км/ч больше, то есть составляла $(x + 5)$ км/ч.

Время, затраченное на первый участок пути, вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$ и равно $t_1 = \frac{150}{x}$ часов.

Время, затраченное на второй участок пути, равно $t_2 = \frac{240}{x+5}$ часов.

Общее время в пути, по условию задачи, составляет 5 часов. Мы можем составить уравнение, сложив время, затраченное на оба участка: $t_1 + t_2 = 5$
$\frac{150}{x} + \frac{240}{x+5} = 5$

Для упрощения решения разделим обе части уравнения на 5: $\frac{30}{x} + \frac{48}{x+5} = 1$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+5)$. Заметим, что по смыслу задачи скорость $x$ должна быть положительным числом ($x > 0$).
$\frac{30(x+5) + 48x}{x(x+5)} = 1$

Умножим обе части уравнения на знаменатель $x(x+5)$, чтобы избавиться от дроби:
$30(x+5) + 48x = x(x+5)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$30x + 150 + 48x = x^2 + 5x$
$78x + 150 = x^2 + 5x$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$:
$x^2 + 5x - 78x - 150 = 0$
$x^2 - 73x - 150 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-73)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-150) = 5329 + 600 = 5929$
$\sqrt{D} = \sqrt{5929} = 77$

Теперь найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{73 + 77}{2 \cdot 1} = \frac{150}{2} = 75$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{73 - 77}{2 \cdot 1} = \frac{-4}{2} = -2$

Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет условию задачи, так как скорость не может быть отрицательной. Следовательно, первоначальная скорость автомобиля равна 75 км/ч.

Выполним проверку:
Время на первом участке: $\frac{150 \text{ км}}{75 \text{ км/ч}} = 2$ ч.
Скорость на втором участке: $75 + 5 = 80$ км/ч.
Время на втором участке: $\frac{240 \text{ км}}{80 \text{ км/ч}} = 3$ ч.
Общее время в пути: $2 \text{ ч} + 3 \text{ ч} = 5$ ч.
Полученный результат соответствует условию задачи.

Ответ: 75 км/ч.