Номер 809, страница 200 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 24. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 809, страница 200.

Условие.

809. Рабочий должен был за определённое время изготовить 72 детали. Однако ежедневно он изготавливал на 4 детали больше, чем планировал, и закончил работу на 3 дня раньше срока. За сколько дней он выполнил работу?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — это количество дней, за которое рабочий фактически выполнил всю работу.

Согласно условию, рабочий закончил работу на 3 дня раньше срока. Это означает, что по плану он должен был работать $x + 3$ дня.

Общий объем работы составляет 72 детали.

Теперь выразим производительность труда (количество деталей в день) в обоих случаях:

• Фактическая производительность: $\frac{72}{x}$ деталей в день.
• Плановая производительность: $\frac{72}{x+3}$ деталей в день.

Известно, что ежедневно рабочий изготавливал на 4 детали больше, чем планировал. Составим уравнение, отражающее это условие:

$\frac{72}{x} = \frac{72}{x+3} + 4$

Теперь решим это уравнение. Для начала перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю. ОДЗ: $x \ne 0$ и $x \ne -3$.

$\frac{72}{x} - \frac{72}{x+3} - 4 = 0$

Приведем дроби к общему знаменателю $x(x+3)$:

$\frac{72(x+3) - 72x - 4x(x+3)}{x(x+3)} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Решаем уравнение для числителя:

$72(x+3) - 72x - 4x(x+3) = 0$

Раскроем скобки:

$72x + 216 - 72x - 4x^2 - 12x = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$-4x^2 - 12x + 216 = 0$

Разделим все уравнение на -4 для упрощения:

$x^2 + 3x - 54 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Решим его через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-54) = 9 + 216 = 225$

$\sqrt{D} = 15$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 15}{2} = \frac{12}{2} = 6$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 15}{2} = \frac{-18}{2} = -9$

Поскольку $x$ обозначает количество дней, это значение не может быть отрицательным. Следовательно, корень $x_2 = -9$ не является решением задачи.

Таким образом, рабочий выполнил работу за 6 дней.

Проверим решение:

• Фактически работал 6 дней. Производительность: $72 / 6 = 12$ деталей в день.
• По плану должен был работать $6 + 3 = 9$ дней. Плановая производительность: $72 / 9 = 8$ деталей в день.
• Разница в производительности: $12 - 8 = 4$ детали в день, что соответствует условию задачи.

Ответ: рабочий выполнил работу за 6 дней.