Номер 812, страница 200 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 24. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 812, страница 200.

Условие.

812. По течению реки от пристани отплыл плот. Через 4 ч от этой пристани в том же направлении отчалила лодка, догнавшая плот на расстоянии 15 км от пристани. Найдите скорость течения реки, если собственная скорость лодки составляет 12 км/ч.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть $x$ км/ч — это искомая скорость течения реки. Плот не имеет собственной скорости, поэтому его скорость равна скорости течения реки, то есть $x$ км/ч. Лодка движется по течению, следовательно, её скорость равна сумме её собственной скорости и скорости течения: $12 + x$ км/ч.

И плот, и лодка прошли одинаковое расстояние — 15 км. Время, затраченное плотом на этот путь, составляет $t_{плота} = \frac{15}{x}$ часов. Время, затраченное лодкой, составляет $t_{лодки} = \frac{15}{12 + x}$ часов.

Согласно условию, лодка отправилась в путь на 4 часа позже плота. Это значит, что время движения плота было на 4 часа больше времени движения лодки. На основе этого можно составить уравнение:

$t_{плота} - t_{лодки} = 4$

$\frac{15}{x} - \frac{15}{12 + x} = 4$

Теперь решим это уравнение. Приведем левую часть к общему знаменателю $x(12 + x)$:

$\frac{15(12 + x) - 15x}{x(12 + x)} = 4$

$\frac{180 + 15x - 15x}{12x + x^2} = 4$

$\frac{180}{x^2 + 12x} = 4$

Умножим обе части уравнения на знаменатель $x^2 + 12x$, при условии, что $x \neq 0$, что верно, так как скорость течения не может быть нулевой.

$180 = 4(x^2 + 12x)$

Разделим обе части на 4:

$45 = x^2 + 12x$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 12x - 45 = 0$

Решим это уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-45) = 144 + 180 = 324$

$\sqrt{D} = \sqrt{324} = 18$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-12 + 18}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$x_2 = \frac{-12 - 18}{2} = \frac{-30}{2} = -15$

Корень $x_2 = -15$ не подходит по смыслу задачи, так как скорость не может быть отрицательной. Следовательно, скорость течения реки равна 3 км/ч.

Ответ: 3 км/ч.