Номер 810, страница 200 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 24. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 810, страница 200.

Условие.

810. Катер прошёл 16 км по течению реки и 30 км против течения, затратив на весь путь 1 ч 30 мин. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки составляет 1 км/ч.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть $x$ км/ч — собственная скорость катера. Поскольку скорость течения реки составляет 1 км/ч, то скорость катера по течению равна $(x + 1)$ км/ч, а скорость против течения — $(x - 1)$ км/ч. Отметим, что для движения против течения необходимо, чтобы собственная скорость была больше скорости течения, то есть $x > 1$.

Время, которое катер затратил на 16 км по течению, равно $\frac{16}{x+1}$ ч. Время, затраченное на 30 км против течения, равно $\frac{30}{x-1}$ ч.

Общее время движения составляет 1 ч 30 мин, что равно $1.5$ часа. Можем составить уравнение, сложив время движения по течению и против течения:

$\frac{16}{x+1} + \frac{30}{x-1} = 1.5$

Для решения уравнения приведём дроби в левой части к общему знаменателю $(x+1)(x-1) = x^2 - 1$:

$\frac{16(x-1) + 30(x+1)}{x^2-1} = 1.5$

$\frac{16x - 16 + 30x + 30}{x^2-1} = 1.5$

$\frac{46x + 14}{x^2 - 1} = 1.5$

Теперь воспользуемся свойством пропорции:

$46x + 14 = 1.5(x^2 - 1)$

$46x + 14 = 1.5x^2 - 1.5$

Чтобы избавиться от десятичной дроби, умножим обе части уравнения на 2:

$92x + 28 = 3x^2 - 3$

Перенесём все слагаемые в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$:

$3x^2 - 92x - 31 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-92)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-31) = 8464 + 372 = 8836$

Найдём квадратный корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{8836} = 94$.

Теперь найдём корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{92 + 94}{2 \cdot 3} = \frac{186}{6} = 31$

$x_2 = \frac{92 - 94}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

Корень $x_2 = -\frac{1}{3}$ не подходит по смыслу задачи, так как скорость не может быть отрицательной. Корень $x_1 = 31$ удовлетворяет условию $x > 1$.

Следовательно, собственная скорость катера равна 31 км/ч.

Ответ: 31 км/ч.