Номер 806, страница 200 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 24. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 806, страница 200.

Условие.

806. Из села Вишнёвое в село Яблоневое, расстояние между которыми равно 15 км, всадник проскакал с некоторой скоростью. Возвращался он со скоростью на 3 км/ч большей и потратил на обратный путь на 15 мин меньше, чем на путь из Вишнёвого в Яблоневое. Найдите первоначальную скорость всадника.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть $v$ км/ч — первоначальная скорость всадника. Тогда скорость на обратном пути была $(v + 3)$ км/ч, так как она была на 3 км/ч больше.

Расстояние между селом Вишнёвое и селом Яблоневое составляет 15 км.

Время, которое всадник затратил на путь из Вишнёвого в Яблоневое, можно выразить формулой $t_1 = \frac{S}{v} = \frac{15}{v}$ часов.

Время, затраченное на обратный путь, составляет $t_2 = \frac{S}{v+3} = \frac{15}{v+3}$ часов.

По условию задачи, на обратный путь всадник потратил на 15 минут меньше. Прежде всего, переведем 15 минут в часы, чтобы все единицы измерения были согласованы: $15 \text{ мин} = \frac{15}{60} \text{ ч} = \frac{1}{4} \text{ ч}$.

Теперь мы можем составить уравнение, исходя из того, что разница во времени $t_1 - t_2$ равна $\frac{1}{4}$ часа: $\frac{15}{v} - \frac{15}{v+3} = \frac{1}{4}$

Для решения этого уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $v(v+3)$: $\frac{15(v+3) - 15v}{v(v+3)} = \frac{1}{4}$

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение: $\frac{15v + 45 - 15v}{v^2 + 3v} = \frac{1}{4}$ $\frac{45}{v^2 + 3v} = \frac{1}{4}$

Теперь воспользуемся свойством пропорции («крест-накрест»): $1 \cdot (v^2 + 3v) = 45 \cdot 4$ $v^2 + 3v = 180$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $v^2 + 3v - 180 = 0$

Решим это уравнение. Найдем дискриминант $D$: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-180) = 9 + 720 = 729$

Найдем корни уравнения: $v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{729}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 27}{2} = \frac{24}{2} = 12$ $v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{729}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 27}{2} = \frac{-30}{2} = -15$

Поскольку скорость не может быть отрицательной величиной, корень $v_2 = -15$ не имеет физического смысла и не является решением задачи. Следовательно, первоначальная скорость всадника равна 12 км/ч.

Ответ: 12 км/ч.