Номер 813, страница 200 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 24. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 813, страница 200.

Условие.

813. Катер прошёл 45 км по течению реки и 28 км против течения, потратив на весь путь 4 ч. Найдите скорость течения, если собственная скорость катера составляет 18 км/ч.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть скорость течения реки равна $x$ км/ч. Согласно условию, собственная скорость катера составляет 18 км/ч. Тогда скорость катера по течению реки равна $(18 + x)$ км/ч, а скорость катера против течения — $(18 - x)$ км/ч. Скорость течения должна быть положительной величиной и меньше собственной скорости катера, чтобы он мог двигаться против течения, следовательно, $0 < x < 18$.

Время, которое катер затратил на путь в 45 км по течению, вычисляется как $t_1 = \frac{45}{18+x}$ ч. Время, затраченное на путь в 28 км против течения, составляет $t_2 = \frac{28}{18-x}$ ч. Поскольку общее время в пути равно 4 часам, можно составить следующее уравнение:

$\frac{45}{18+x} + \frac{28}{18-x} = 4$

Для решения этого рационального уравнения приведем левую часть к общему знаменателю $(18+x)(18-x)$ и выполним преобразования. Умножим обе части уравнения на этот знаменатель, учитывая, что $x \neq \pm 18$:

$45(18 - x) + 28(18 + x) = 4(18 + x)(18 - x)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$810 - 45x + 504 + 28x = 4(18^2 - x^2)$

Приведем подобные слагаемые:

$1314 - 17x = 4(324 - x^2)$

$1314 - 17x = 1296 - 4x^2$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$:

$4x^2 - 17x + 1314 - 1296 = 0$

$4x^2 - 17x + 18 = 0$

Теперь решим полученное квадратное уравнение. Сначала найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-17)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 18 = 289 - 288 = 1$

Так как дискриминант больше нуля ($D > 0$), уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-17) + \sqrt{1}}{2 \cdot 4} = \frac{17 + 1}{8} = \frac{18}{8} = 2.25$

$x_2 = \frac{-(-17) - \sqrt{1}}{2 \cdot 4} = \frac{17 - 1}{8} = \frac{16}{8} = 2$

Оба найденных значения, $x_1 = 2.25$ и $x_2 = 2$, удовлетворяют первоначальному условию $0 < x < 18$. Следовательно, задача имеет два правильных решения.

Ответ: 2 км/ч или 2,25 км/ч.