Номер 816, страница 201 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 24. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 816, страница 201.

Условие.

816. Группа школьников выехала на экскурсию из города A в город B на автобусе, а вернулась в город A по железной дороге, затратив на обратный путь на 30 мин больше, чем на путь в город B. Найдите скорость поезда, если она на 20 км/ч меньше скорости автобуса, длина шоссе между городами A и B составляет 160 км, а длина железной дороги — 150 км.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения задачи введем переменные. Пусть скорость поезда равна $x$ км/ч.
Согласно условию, скорость поезда на 20 км/ч меньше скорости автобуса. Это означает, что скорость автобуса на 20 км/ч больше скорости поезда, то есть она равна $(x + 20)$ км/ч.

Школьники ехали из города А в город B на автобусе. Длина шоссе составляет 160 км. Время, затраченное на этот путь, вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$.
Время в пути на автобусе: $t_а = \frac{160}{x + 20}$ часов.

Обратный путь из города B в город A школьники проделали по железной дороге, длина которой 150 км.
Время в пути на поезде: $t_п = \frac{150}{x}$ часов.

По условию, на обратный путь было затрачено на 30 минут больше. Переведем 30 минут в часы: $30 \text{ мин} = \frac{30}{60} \text{ ч} = 0.5 \text{ ч}$.
Это означает, что время в пути на поезде больше времени в пути на автобусе на 0.5 часа. Составим уравнение:
$t_п - t_а = 0.5$

Подставим в уравнение выражения для $t_п$ и $t_а$:
$\frac{150}{x} - \frac{160}{x + 20} = 0.5$

Решим полученное рациональное уравнение. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $2x(x + 20)$, чтобы избавиться от дробей. При этом $x$ не должно быть равно 0 или -20, что выполняется, так как скорость является положительной величиной.
$2x(x + 20) \cdot \frac{150}{x} - 2x(x + 20) \cdot \frac{160}{x + 20} = 2x(x + 20) \cdot 0.5$
$2(x + 20) \cdot 150 - 2x \cdot 160 = x(x + 20)$
$300(x + 20) - 320x = x^2 + 20x$
$300x + 6000 - 320x = x^2 + 20x$

Перенесем все слагаемые в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$:
$0 = x^2 + 20x - 300x + 320x - 6000$
$x^2 + 40x - 6000 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.
$D = 40^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6000) = 1600 + 24000 = 25600$
Найдем корни уравнения: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
$x_1 = \frac{-40 + \sqrt{25600}}{2 \cdot 1} = \frac{-40 + 160}{2} = \frac{120}{2} = 60$
$x_2 = \frac{-40 - \sqrt{25600}}{2 \cdot 1} = \frac{-40 - 160}{2} = \frac{-200}{2} = -100$

Так как скорость не может быть отрицательной, корень $x_2 = -100$ не подходит по смыслу задачи.
Следовательно, скорость поезда равна 60 км/ч.

Проверим решение:
Скорость поезда: $x = 60$ км/ч.
Скорость автобуса: $x + 20 = 60 + 20 = 80$ км/ч.
Время в пути на поезде: $\frac{150 \text{ км}}{60 \text{ км/ч}} = 2.5$ часа.
Время в пути на автобусе: $\frac{160 \text{ км}}{80 \text{ км/ч}} = 2$ часа.
Разница во времени: $2.5 - 2 = 0.5$ часа, что равно 30 минутам. Все условия задачи выполнены.

Ответ: 60 км/ч.