Страница 201 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

815. Междугородный автобус должен был проехать 72 км. После того как он проехал 24 км, его задержали на железнодорожном переезде на 12 мин. Потом он увеличил скорость на $12 \text{ км/ч}$ и прибыл в пункт назначения с опозданием на 4 мин. Найдите первоначальную скорость автобуса.

Пусть $v$ км/ч — первоначальная скорость автобуса. Весь путь составляет 72 км.

Время, которое автобус должен был затратить на весь путь по расписанию, составляет $t_{план} = \frac{72}{v}$ часов.

Первую часть пути, равную 24 км, автобус проехал с первоначальной скоростью $v$. Время, затраченное на этот участок: $t_1 = \frac{24}{v}$ ч.

После этого автобус был задержан на 12 минут. Переведем это время в часы: $t_{задержка} = 12 \text{ мин} = \frac{12}{60} \text{ ч} = \frac{1}{5}$ ч.

Оставшаяся часть пути составляет $72 - 24 = 48$ км. Эту часть пути автобус ехал с увеличенной скоростью, которая стала равна $v + 12$ км/ч. Время, затраченное на второй участок: $t_2 = \frac{48}{v+12}$ ч.

Суммарное фактическое время в пути складывается из времени движения на двух участках и времени задержки:$t_{факт} = t_1 + t_{задержка} + t_2 = \frac{24}{v} + \frac{1}{5} + \frac{48}{v+12}$ ч.

По условию, автобус прибыл в пункт назначения с опозданием на 4 минуты. Переведем время опоздания в часы: $4 \text{ мин} = \frac{4}{60} \text{ ч} = \frac{1}{15}$ ч. Это означает, что фактическое время в пути было на $\frac{1}{15}$ часа больше запланированного:

$t_{факт} = t_{план} + \frac{1}{15}$

Подставим выражения для времени и составим уравнение:

$\frac{24}{v} + \frac{1}{5} + \frac{48}{v+12} = \frac{72}{v} + \frac{1}{15}$

Перенесем слагаемые, содержащие переменную $v$, в правую часть, а числовые слагаемые — в левую:

$\frac{1}{5} - \frac{1}{15} = \frac{72}{v} - \frac{24}{v} - \frac{48}{v+12}$

Упростим обе части уравнения. В левой части приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{3}{15} - \frac{1}{15} = \frac{48}{v} - \frac{48}{v+12}$

$\frac{2}{15} = 48 \left( \frac{1}{v} - \frac{1}{v+12} \right)$

$\frac{2}{15} = 48 \left( \frac{v+12-v}{v(v+12)} \right)$

$\frac{2}{15} = 48 \cdot \frac{12}{v(v+12)}$

$\frac{2}{15} = \frac{576}{v^2 + 12v}$

Воспользуемся свойством пропорции («крест-накрест»):

$2(v^2 + 12v) = 15 \cdot 576$

$2(v^2 + 12v) = 8640$

Разделим обе части уравнения на 2:

$v^2 + 12v = 4320$

$v^2 + 12v - 4320 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4320) = 144 + 17280 = 17424$

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{17424} = 132$.

Теперь найдем корни уравнения:

$v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-12 + 132}{2} = \frac{120}{2} = 60$

$v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-12 - 132}{2} = \frac{-144}{2} = -72$

Так как скорость не может быть отрицательной величиной, корень $v_2 = -72$ не является решением задачи. Следовательно, первоначальная скорость автобуса равна 60 км/ч.

Ответ: 60 км/ч.

816. Группа школьников выехала на экскурсию из города A в город B на автобусе, а вернулась в город A по железной дороге, затратив на обратный путь на 30 мин больше, чем на путь в город B. Найдите скорость поезда, если она на 20 км/ч меньше скорости автобуса, длина шоссе между городами A и B составляет 160 км, а длина железной дороги — 150 км.

Для решения задачи введем переменные. Пусть скорость поезда равна $x$ км/ч.
Согласно условию, скорость поезда на 20 км/ч меньше скорости автобуса. Это означает, что скорость автобуса на 20 км/ч больше скорости поезда, то есть она равна $(x + 20)$ км/ч.

Школьники ехали из города А в город B на автобусе. Длина шоссе составляет 160 км. Время, затраченное на этот путь, вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$.
Время в пути на автобусе: $t_а = \frac{160}{x + 20}$ часов.

Обратный путь из города B в город A школьники проделали по железной дороге, длина которой 150 км.
Время в пути на поезде: $t_п = \frac{150}{x}$ часов.

По условию, на обратный путь было затрачено на 30 минут больше. Переведем 30 минут в часы: $30 \text{ мин} = \frac{30}{60} \text{ ч} = 0.5 \text{ ч}$.
Это означает, что время в пути на поезде больше времени в пути на автобусе на 0.5 часа. Составим уравнение:
$t_п - t_а = 0.5$

Подставим в уравнение выражения для $t_п$ и $t_а$:
$\frac{150}{x} - \frac{160}{x + 20} = 0.5$

Решим полученное рациональное уравнение. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $2x(x + 20)$, чтобы избавиться от дробей. При этом $x$ не должно быть равно 0 или -20, что выполняется, так как скорость является положительной величиной.
$2x(x + 20) \cdot \frac{150}{x} - 2x(x + 20) \cdot \frac{160}{x + 20} = 2x(x + 20) \cdot 0.5$
$2(x + 20) \cdot 150 - 2x \cdot 160 = x(x + 20)$
$300(x + 20) - 320x = x^2 + 20x$
$300x + 6000 - 320x = x^2 + 20x$

Перенесем все слагаемые в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$:
$0 = x^2 + 20x - 300x + 320x - 6000$
$x^2 + 40x - 6000 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.
$D = 40^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6000) = 1600 + 24000 = 25600$
Найдем корни уравнения: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
$x_1 = \frac{-40 + \sqrt{25600}}{2 \cdot 1} = \frac{-40 + 160}{2} = \frac{120}{2} = 60$
$x_2 = \frac{-40 - \sqrt{25600}}{2 \cdot 1} = \frac{-40 - 160}{2} = \frac{-200}{2} = -100$

Так как скорость не может быть отрицательной, корень $x_2 = -100$ не подходит по смыслу задачи.
Следовательно, скорость поезда равна 60 км/ч.

Проверим решение:
Скорость поезда: $x = 60$ км/ч.
Скорость автобуса: $x + 20 = 60 + 20 = 80$ км/ч.
Время в пути на поезде: $\frac{150 \text{ км}}{60 \text{ км/ч}} = 2.5$ часа.
Время в пути на автобусе: $\frac{160 \text{ км}}{80 \text{ км/ч}} = 2$ часа.
Разница во времени: $2.5 - 2 = 0.5$ часа, что равно 30 минутам. Все условия задачи выполнены.

Ответ: 60 км/ч.

817. Турист проплыл на байдарке $4 \text{ км}$ по озеру и $5 \text{ км}$ по течению реки за то же время, за которое он проплыл бы $6 \text{ км}$ против течения. С какой скоростью турист плыл по озеру, если скорость течения реки равна $2 \text{ км/ч}$?

Пусть $x$ км/ч — собственная скорость байдарки, то есть скорость, с которой турист плыл по озеру. Это искомая величина. Из условия задачи известно, что скорость течения реки равна 2 км/ч.

Тогда скорость туриста по течению реки будет равна $(x + 2)$ км/ч, а скорость против течения реки — $(x - 2)$ км/ч. Для того чтобы турист мог плыть против течения, его собственная скорость должна быть больше скорости течения, то есть $x > 2$.

Время движения ($t$) вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$, где $S$ — расстояние, а $v$ — скорость.

Турист проплыл 4 км по озеру и 5 км по течению реки. Общее время, затраченное на этот путь, составляет: $T_1 = \frac{4}{x} + \frac{5}{x+2}$ часов.

Время, за которое турист проплыл 6 км против течения, составляет: $T_2 = \frac{6}{x-2}$ часов.

По условию задачи, эти промежутки времени равны: $T_1 = T_2$. Составим уравнение: $\frac{4}{x} + \frac{5}{x+2} = \frac{6}{x-2}$

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю $x(x+2)$: $\frac{4(x+2) + 5x}{x(x+2)} = \frac{6}{x-2}$

$\frac{4x + 8 + 5x}{x^2 + 2x} = \frac{6}{x-2}$

$\frac{9x + 8}{x^2 + 2x} = \frac{6}{x-2}$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение), учитывая область допустимых значений $x \neq 0, x \neq 2, x \neq -2$: $(9x + 8)(x - 2) = 6(x^2 + 2x)$

Раскроем скобки: $9x^2 - 18x + 8x - 16 = 6x^2 + 12x$

$9x^2 - 10x - 16 = 6x^2 + 12x$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону и приведем подобные слагаемые: $9x^2 - 6x^2 - 10x - 12x - 16 = 0$

$3x^2 - 22x - 16 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Решим его через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-22)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-16) = 484 + 192 = 676$

$\sqrt{D} = \sqrt{676} = 26$

Найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{22 + 26}{2 \cdot 3} = \frac{48}{6} = 8$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{22 - 26}{2 \cdot 3} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$

Корень $x_2 = -\frac{2}{3}$ не имеет физического смысла, так как скорость не может быть отрицательной. Корень $x_1 = 8$ удовлетворяет условию $x > 2$. Следовательно, скорость туриста по озеру составляет 8 км/ч.

Проверка: Время на первом участке: $\frac{4}{8} + \frac{5}{8+2} = 0.5 + \frac{5}{10} = 0.5 + 0.5 = 1$ час. Время на втором участке: $\frac{6}{8-2} = \frac{6}{6} = 1$ час. Время равно, значит, задача решена верно.

Ответ: 8 км/ч.

818. Теплоход прошёл $16\text{ км}$ по озеру, а затем $18\text{ км}$ по реке, берущей начало из этого озера, за $1\text{ ч}$. Найдите скорость теплохода в стоячей воде, если скорость течения реки составляет $4\text{ км/ч}$.

Пусть $x$ км/ч — это собственная скорость теплохода, то есть его скорость в стоячей воде. В озере нет течения, поэтому скорость теплохода по озеру равна его собственной скорости $x$ км/ч.

Река берет начало из озера, и теплоход плыл по ней, следовательно, он двигался по течению. Скорость течения реки составляет 4 км/ч. Таким образом, скорость теплохода по реке равна сумме его собственной скорости и скорости течения: $(x + 4)$ км/ч.

Время движения можно найти по формуле $t = S/v$, где $t$ — время, $S$ — расстояние, $v$ — скорость.

Время, которое теплоход затратил на путь по озеру, составляет: $t_1 = \frac{16}{x}$ ч.

Время, которое теплоход затратил на путь по реке, составляет: $t_2 = \frac{18}{x + 4}$ ч.

Общее время в пути, согласно условию задачи, равно 1 часу. Составим уравнение, сложив время движения по озеру и по реке:

$\frac{16}{x} + \frac{18}{x + 4} = 1$

Для решения этого уравнения приведем дроби к общему знаменателю $x(x + 4)$. Так как $x$ представляет собой скорость, $x > 0$, поэтому знаменатели не равны нулю.

$16(x + 4) + 18x = x(x + 4)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$16x + 64 + 18x = x^2 + 4x$

$34x + 64 = x^2 + 4x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 4x - 34x - 64 = 0$

$x^2 - 30x - 64 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-30)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-64) = 900 + 256 = 1156$

$\sqrt{D} = \sqrt{1156} = 34$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-30) + 34}{2 \cdot 1} = \frac{30 + 34}{2} = \frac{64}{2} = 32$

$x_2 = \frac{-(-30) - 34}{2 \cdot 1} = \frac{30 - 34}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Скорость не может быть отрицательной, поэтому корень $x_2 = -2$ не является решением задачи. Следовательно, скорость теплохода в стоячей воде равна 32 км/ч.

Проверим найденное решение:

Время по озеру: $\frac{16 \text{ км}}{32 \text{ км/ч}} = 0.5$ ч.

Время по реке: $\frac{18 \text{ км}}{(32 + 4) \text{ км/ч}} = \frac{18 \text{ км}}{36 \text{ км/ч}} = 0.5$ ч.

Общее время: $0.5 \text{ ч} + 0.5 \text{ ч} = 1$ ч.

Решение верное.

Ответ: скорость теплохода в стоячей воде составляет 32 км/ч.

819. Знаменатель обыкновенной дроби на 3 больше её числителя. Если числитель этой дроби увеличить на 4, а знаменатель — на 8, то полученная дробь будет на $\frac{1}{6}$ больше исходной. Найдите исходную дробь.

Обозначим числитель исходной дроби через $x$.

Согласно условию, знаменатель на 3 больше числителя, следовательно, знаменатель равен $x+3$.

Таким образом, исходная дробь имеет вид $ \frac{x}{x+3} $.

Если числитель этой дроби увеличить на 4, он станет равен $x+4$. Если знаменатель увеличить на 8, он станет равен $(x+3)+8 = x+11$.

Новая дробь будет иметь вид $ \frac{x+4}{x+11} $.

По условию, новая дробь на $ \frac{1}{6} $ больше исходной. Составим уравнение:

$ \frac{x+4}{x+11} = \frac{x}{x+3} + \frac{1}{6} $

Для решения перенесем дробь с переменной в левую часть:

$ \frac{x+4}{x+11} - \frac{x}{x+3} = \frac{1}{6} $

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(x+11)(x+3)$:

$ \frac{(x+4)(x+3) - x(x+11)}{(x+11)(x+3)} = \frac{1}{6} $

Раскроем скобки в числителе и знаменателе, а затем упростим числитель:

$ \frac{x^2+3x+4x+12 - (x^2+11x)}{x^2+3x+11x+33} = \frac{1}{6} $

$ \frac{x^2+7x+12 - x^2-11x}{x^2+14x+33} = \frac{1}{6} $

$ \frac{12 - 4x}{x^2+14x+33} = \frac{1}{6} $

Используем свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$ 6(12 - 4x) = 1(x^2+14x+33) $

$ 72 - 24x = x^2+14x+33 $

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$ x^2+14x+24x+33-72 = 0 $

$ x^2+38x-39 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$ D = 38^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-39) = 1444 + 156 = 1600 $

Найдем корни уравнения по формуле $ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} $:

$ x_1 = \frac{-38 + \sqrt{1600}}{2 \cdot 1} = \frac{-38+40}{2} = \frac{2}{2} = 1 $

$ x_2 = \frac{-38 - \sqrt{1600}}{2 \cdot 1} = \frac{-38-40}{2} = \frac{-78}{2} = -39 $

Получили два возможных значения для числителя. Рассмотрим оба случая.

1. Если числитель $x_1 = 1$, то знаменатель равен $x+3 = 1+3=4$. Исходная дробь — $ \frac{1}{4} $.

2. Если числитель $x_2 = -39$, то знаменатель равен $x+3 = -39+3=-36$. Исходная дробь — $ \frac{-39}{-36} $, что равно $ \frac{13}{12} $.

Проверим оба решения.

Для дроби $ \frac{1}{4} $: новая дробь $ \frac{1+4}{4+8} = \frac{5}{12} $. Разность: $ \frac{5}{12} - \frac{1}{4} = \frac{5-3}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} $. Это решение подходит.

Для дроби $ \frac{-39}{-36} $: новая дробь $ \frac{-39+4}{-36+8} = \frac{-35}{-28} = \frac{5}{4} $. Разность: $ \frac{5}{4} - \frac{-39}{-36} = \frac{5}{4} - \frac{13}{12} = \frac{15-13}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} $. Это решение также подходит.

Обычно в школьных задачах под "обыкновенной дробью" подразумевают дробь с натуральными (положительными целыми) числителем и знаменателем. Поэтому, несмотря на наличие второго корректного математического решения, в качестве ответа следует выбрать первый вариант.

Ответ: $ \frac{1}{4} $

820. Числитель обыкновенной дроби на 5 меньше её знаменателя. Если числитель этой дроби уменьшить на 3, а знаменатель увеличить на 4, то полученная дробь будет на $\frac{1}{3}$ меньше исходной. Найдите исходную дробь.

Пусть знаменатель исходной дроби равен $x$. Согласно условию, числитель на 5 меньше знаменателя, следовательно, он равен $x-5$. Таким образом, исходная дробь имеет вид $\frac{x-5}{x}$.

Далее, по условию задачи, числитель этой дроби уменьшили на 3, а знаменатель увеличили на 4. Новый числитель стал равен $(x-5)-3 = x-8$. Новый знаменатель стал равен $x+4$. Полученная новая дробь имеет вид $\frac{x-8}{x+4}$.

Известно, что полученная дробь на $\frac{1}{3}$ меньше исходной. Это означает, что если из исходной дроби вычесть новую, разность будет равна $\frac{1}{3}$. Составим на основе этого условия уравнение:

$\frac{x-5}{x} - \frac{x-8}{x+4} = \frac{1}{3}$

Для решения данного уравнения определим область допустимых значений: знаменатели дробей не могут быть равны нулю, поэтому $x \neq 0$ и $x+4 \neq 0$, то есть $x \neq -4$.

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $x(x+4)$:

$\frac{(x-5)(x+4) - x(x-8)}{x(x+4)} = \frac{1}{3}$

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:

$\frac{x^2 + 4x - 5x - 20 - (x^2 - 8x)}{x^2 + 4x} = \frac{1}{3}$

$\frac{x^2 - x - 20 - x^2 + 8x}{x^2 + 4x} = \frac{1}{3}$

$\frac{7x - 20}{x^2 + 4x} = \frac{1}{3}$

Теперь воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$3(7x - 20) = 1(x^2 + 4x)$

$21x - 60 = x^2 + 4x$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 + 4x - 21x + 60 = 0$

$x^2 - 17x + 60 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения, например, с помощью дискриминанта.

$D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 60 = 289 - 240 = 49 = 7^2$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 \pm 7}{2}$

Первый корень: $x_1 = \frac{17 - 7}{2} = \frac{10}{2} = 5$.

Второй корень: $x_2 = \frac{17 + 7}{2} = \frac{24}{2} = 12$.

Оба найденных корня входят в область допустимых значений. Теперь рассмотрим, какая дробь получается в каждом из двух случаев.

1. Если $x = 5$, то исходная дробь равна $\frac{x-5}{x} = \frac{5-5}{5} = \frac{0}{5}$.
Проверка: новая дробь $\frac{x-8}{x+4} = \frac{5-8}{5+4} = \frac{-3}{9} = -\frac{1}{3}$. Разница: $\frac{0}{5} - (-\frac{1}{3}) = \frac{1}{3}$. Условие выполняется.

2. Если $x = 12$, то исходная дробь равна $\frac{x-5}{x} = \frac{12-5}{12} = \frac{7}{12}$.
Проверка: новая дробь $\frac{x-8}{x+4} = \frac{12-8}{12+4} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$. Разница: $\frac{7}{12} - \frac{1}{4} = \frac{7}{12} - \frac{3}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$. Условие также выполняется.

Мы получили два математически верных решения. Однако, в контексте школьных задач под "обыкновенной дробью" часто подразумевается дробь, у которой и числитель, и знаменатель — натуральные (положительные целые) числа. В первом случае ($x=5$) числитель равен 0, что не является натуральным числом. Во втором случае ($x=12$) числитель равен 7, а знаменатель 12 — оба числа натуральные. Поэтому, в качестве ответа следует выбрать второй вариант.

Ответ: $\frac{7}{12}$

821. Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить производственное задание за 20 дней. За сколько дней может выполнить это задание каждый из них, работая самостоятельно, если одному из них нужно для этого на 9 дней больше, чем другому?

Для решения этой задачи примем весь объем работы за 1.

Пусть $x$ — количество дней, за которое первый рабочий может выполнить всю работу, работая самостоятельно.

Согласно условию, второму рабочему для выполнения этой же работы требуется на 9 дней больше. Следовательно, он выполнит работу за $(x + 9)$ дней.

Производительность труда (часть работы, выполняемая за один день) первого рабочего составляет $1/x$.

Производительность труда второго рабочего составляет $1/(x + 9)$.

Когда они работают вместе, их общая производительность является суммой их индивидуальных производительностей. По условию, вместе они выполняют работу за 20 дней, значит, их совместная производительность равна $1/20$.

Составим уравнение, основываясь на этих данных: $$ \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 9} = \frac{1}{20} $$

Чтобы решить это уравнение, приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x + 9)$: $$ \frac{x + 9 + x}{x(x + 9)} = \frac{1}{20} $$ $$ \frac{2x + 9}{x^2 + 9x} = \frac{1}{20} $$

Теперь воспользуемся свойством пропорции («крест-накрест»): $$ 20 \cdot (2x + 9) = 1 \cdot (x^2 + 9x) $$ $$ 40x + 180 = x^2 + 9x $$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $$ x^2 + 9x - 40x - 180 = 0 $$ $$ x^2 - 31x - 180 = 0 $$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $$ D = (-31)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-180) = 961 + 720 = 1681 $$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $$ \sqrt{D} = \sqrt{1681} = 41 $$ $$ x_1 = \frac{31 + 41}{2} = \frac{72}{2} = 36 $$ $$ x_2 = \frac{31 - 41}{2} = \frac{-10}{2} = -5 $$

Так как $x$ обозначает количество дней, эта величина не может быть отрицательной. Следовательно, корень $x_2 = -5$ не подходит по смыслу задачи.

Значит, первому рабочему для выполнения задания требуется 36 дней.

Второму рабочему требуется на 9 дней больше: $$ 36 + 9 = 45 \text{ дней} $$

Ответ: один рабочий может выполнить задание за 36 дней, а другой — за 45 дней.

822. Одному маляру требуется на 5 ч больше, чем другому, чтобы покрасить фасад дома. Когда первый маляр проработал 3 ч, а потом его сменил второй маляр, проработавший 2 ч, то оказалось, что покрашено 40 % фасада. За какое время может покрасить фасад каждый маляр, работая самостоятельно?

Обозначим за $x$ время в часах, за которое второй маляр может покрасить фасад, работая самостоятельно. Из условия задачи следует, что первому маляру (который работает медленнее) для выполнения той же работы потребуется $(x + 5)$ часов.

Производительность (скорость работы) — это часть работы, выполняемая за единицу времени. Таким образом, производительность первого маляра составляет $\frac{1}{x+5}$ фасада в час, а производительность второго маляра — $\frac{1}{x}$ фасада в час.

Согласно условию, первый маляр работал 3 часа, а второй — 2 часа. Найдем, какую часть работы выполнил каждый из них:

• Часть работы, выполненная первым маляром за 3 часа: $3 \cdot \frac{1}{x+5} = \frac{3}{x+5}$
• Часть работы, выполненная вторым маляром за 2 часа: $2 \cdot \frac{1}{x} = \frac{2}{x}$

Вместе они покрасили 40% фасада. Представим 40% в виде дроби: $40\% = \frac{40}{100} = \frac{2}{5}$.

Теперь мы можем составить уравнение, сложив части работы, выполненные обоими малярами: $$ \frac{3}{x+5} + \frac{2}{x} = \frac{2}{5} $$

Для решения уравнения необходимо привести дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+5)$: $$ \frac{3x}{x(x+5)} + \frac{2(x+5)}{x(x+5)} = \frac{2}{5} $$ $$ \frac{3x + 2x + 10}{x^2 + 5x} = \frac{2}{5} $$ $$ \frac{5x + 10}{x^2 + 5x} = \frac{2}{5} $$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение), чтобы избавиться от дробей. Условие $x > 0$ гарантирует, что знаменатели не равны нулю. $$ 5(5x + 10) = 2(x^2 + 5x) $$ $$ 25x + 50 = 2x^2 + 10x $$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$: $$ 2x^2 + 10x - 25x - 50 = 0 $$ $$ 2x^2 - 15x - 50 = 0 $$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $$ D = (-15)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-50) = 225 + 400 = 625 $$ Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{625} = 25$.

Теперь найдем корни уравнения: $$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 + 25}{2 \cdot 2} = \frac{40}{4} = 10 $$ $$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 - 25}{2 \cdot 2} = \frac{-10}{4} = -2.5 $$

Поскольку $x$ представляет собой время, оно не может быть отрицательным. Поэтому корень $x_2 = -2.5$ не является решением задачи. Таким образом, время, за которое второй маляр покрасит фасад, составляет 10 часов.

Время работы первого маляра: $$ x + 5 = 10 + 5 = 15 \text{ часов} $$

Ответ: время, за которое может покрасить фасад каждый маляр, работая самостоятельно, составляет 15 часов для первого маляра и 10 часов для второго.

823. В первый день тракторист пахал поле 6 ч. На следующий день к нему присоединился второй тракторист, и через 8 ч совместной работы они закончили вспашку. За какое время может вспахать это поле каждый тракторист, работая самостоятельно, если первому для этого надо на 3 ч меньше, чем второму?

Обозначим всю работу по вспашке поля за 1. Пусть время, за которое второй тракторист может вспахать все поле, работая самостоятельно, равно $x$ часов. Согласно условию, первому трактористу для выполнения этой же работы требуется на 3 часа меньше, то есть $(x-3)$ часов. Исходя из физического смысла времени, $x$ должен быть больше 3, то есть $x > 3$.

Тогда производительность (часть поля, вспахиваемая за 1 час) первого тракториста составляет $P_1 = \frac{1}{x-3}$, а производительность второго — $P_2 = \frac{1}{x}$.

В первый день первый тракторист работал один в течение 6 часов. Объем выполненной им работы равен: $W_1 = P_1 \times 6 = \frac{6}{x-3}$.

На следующий день оба тракториста работали вместе 8 часов. Их совместная производительность равна сумме их индивидуальных производительностей: $P_{1+2} = P_1 + P_2 = \frac{1}{x-3} + \frac{1}{x}$. Объем работы, выполненной ими за 8 часов совместной работы, равен: $W_2 = P_{1+2} \times 8 = 8 \left(\frac{1}{x-3} + \frac{1}{x}\right)$.

Сумма работы за два дня равна всему полю, то есть 1. Составим уравнение: $W_1 + W_2 = 1$ $\frac{6}{x-3} + 8 \left(\frac{1}{x-3} + \frac{1}{x}\right) = 1$

Теперь решим это уравнение: $\frac{6}{x-3} + \frac{8}{x-3} + \frac{8}{x} = 1$ $\frac{14}{x-3} + \frac{8}{x} = 1$ Приведем левую часть к общему знаменателю $x(x-3)$: $\frac{14x + 8(x-3)}{x(x-3)} = 1$ При условии, что $x \neq 0$ и $x \neq 3$, можно умножить обе части на знаменатель: $14x + 8(x-3) = x(x-3)$ $14x + 8x - 24 = x^2 - 3x$ $22x - 24 = x^2 - 3x$ Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $x^2 - 3x - 22x + 24 = 0$ $x^2 - 25x + 24 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 25, а их произведение равно 24. Легко подобрать корни: $x_1 = 24$ $x_2 = 1$

Проверим корни на соответствие условию $x > 3$. Корень $x_2 = 1$ не подходит, так как в этом случае время работы первого тракториста было бы $1 - 3 = -2$ часа, что невозможно. Корень $x_1 = 24$ удовлетворяет условию.

Следовательно, время, за которое второй тракторист может вспахать поле самостоятельно, равно 24 часам. Время, за которое первый тракторист может вспахать поле самостоятельно, равно $x - 3 = 24 - 3 = 21$ час.

Ответ: Первый тракторист может вспахать поле за 21 час, а второй — за 24 часа.