Номер 819, страница 201 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 24. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 819, страница 201.

Условие.

819. Знаменатель обыкновенной дроби на 3 больше её числителя. Если числитель этой дроби увеличить на 4, а знаменатель — на 8, то полученная дробь будет на $\frac{1}{6}$ больше исходной. Найдите исходную дробь.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Обозначим числитель исходной дроби через $x$.

Согласно условию, знаменатель на 3 больше числителя, следовательно, знаменатель равен $x+3$.

Таким образом, исходная дробь имеет вид $ \frac{x}{x+3} $.

Если числитель этой дроби увеличить на 4, он станет равен $x+4$. Если знаменатель увеличить на 8, он станет равен $(x+3)+8 = x+11$.

Новая дробь будет иметь вид $ \frac{x+4}{x+11} $.

По условию, новая дробь на $ \frac{1}{6} $ больше исходной. Составим уравнение:

$ \frac{x+4}{x+11} = \frac{x}{x+3} + \frac{1}{6} $

Для решения перенесем дробь с переменной в левую часть:

$ \frac{x+4}{x+11} - \frac{x}{x+3} = \frac{1}{6} $

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(x+11)(x+3)$:

$ \frac{(x+4)(x+3) - x(x+11)}{(x+11)(x+3)} = \frac{1}{6} $

Раскроем скобки в числителе и знаменателе, а затем упростим числитель:

$ \frac{x^2+3x+4x+12 - (x^2+11x)}{x^2+3x+11x+33} = \frac{1}{6} $

$ \frac{x^2+7x+12 - x^2-11x}{x^2+14x+33} = \frac{1}{6} $

$ \frac{12 - 4x}{x^2+14x+33} = \frac{1}{6} $

Используем свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$ 6(12 - 4x) = 1(x^2+14x+33) $

$ 72 - 24x = x^2+14x+33 $

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$ x^2+14x+24x+33-72 = 0 $

$ x^2+38x-39 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$ D = 38^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-39) = 1444 + 156 = 1600 $

Найдем корни уравнения по формуле $ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} $:

$ x_1 = \frac{-38 + \sqrt{1600}}{2 \cdot 1} = \frac{-38+40}{2} = \frac{2}{2} = 1 $

$ x_2 = \frac{-38 - \sqrt{1600}}{2 \cdot 1} = \frac{-38-40}{2} = \frac{-78}{2} = -39 $

Получили два возможных значения для числителя. Рассмотрим оба случая.

1. Если числитель $x_1 = 1$, то знаменатель равен $x+3 = 1+3=4$. Исходная дробь — $ \frac{1}{4} $.

2. Если числитель $x_2 = -39$, то знаменатель равен $x+3 = -39+3=-36$. Исходная дробь — $ \frac{-39}{-36} $, что равно $ \frac{13}{12} $.

Проверим оба решения.

Для дроби $ \frac{1}{4} $: новая дробь $ \frac{1+4}{4+8} = \frac{5}{12} $. Разность: $ \frac{5}{12} - \frac{1}{4} = \frac{5-3}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} $. Это решение подходит.

Для дроби $ \frac{-39}{-36} $: новая дробь $ \frac{-39+4}{-36+8} = \frac{-35}{-28} = \frac{5}{4} $. Разность: $ \frac{5}{4} - \frac{-39}{-36} = \frac{5}{4} - \frac{13}{12} = \frac{15-13}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} $. Это решение также подходит.

Обычно в школьных задачах под "обыкновенной дробью" подразумевают дробь с натуральными (положительными целыми) числителем и знаменателем. Поэтому, несмотря на наличие второго корректного математического решения, в качестве ответа следует выбрать первый вариант.

Ответ: $ \frac{1}{4} $