Номер 824, страница 202 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 24. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций - номер 824, страница 202.

Условие.

824. В раствор, содержащий 20 г соли, добавили 100 г воды, после чего концентрация соли уменьшилась на 10 %. Сколько граммов воды содержал раствор первоначально?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть первоначально в растворе содержалось $x$ граммов воды. Масса соли по условию составляет 20 г.

Тогда масса всего первоначального раствора была $m_1 = (20 + x)$ г. Концентрация соли $C_1$ (массовая доля) в этом растворе вычисляется по формуле: $C_1 = \frac{m_{соли}}{m_{раствора}} = \frac{20}{20 + x}$

После того как в раствор добавили 100 г воды, масса воды стала $(x + 100)$ г, а масса нового раствора стала $m_2 = 20 + (x + 100) = (120 + x)$ г. Концентрация соли в новом растворе $C_2$ стала: $C_2 = \frac{20}{120 + x}$

По условию задачи, концентрация соли уменьшилась на 10%. В долях это составляет 0,1. Это означает, что разница между первоначальной и конечной концентрациями равна 0,1. Составим уравнение: $C_1 - C_2 = 0.1$ $\frac{20}{20 + x} - \frac{20}{120 + x} = 0.1$

Для решения уравнения умножим обе его части на 10, чтобы избавиться от десятичной дроби, а затем приведем левую часть к общему знаменателю: $\frac{200}{20 + x} - \frac{200}{120 + x} = 1$ $\frac{200(120 + x) - 200(20 + x)}{(20 + x)(120 + x)} = 1$

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение: $\frac{24000 + 200x - 4000 - 200x}{(20 + x)(120 + x)} = 1$ $\frac{20000}{(20 + x)(120 + x)} = 1$

Из этого равенства следует, что знаменатель равен числителю: $(20 + x)(120 + x) = 20000$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$: $2400 + 20x + 120x + x^2 = 20000$ $x^2 + 140x + 2400 - 20000 = 0$ $x^2 + 140x - 17600 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $D = 140^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-17600) = 19600 + 70400 = 90000$ $\sqrt{D} = \sqrt{90000} = 300$

Найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-140 + 300}{2 \cdot 1} = \frac{160}{2} = 80$ $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-140 - 300}{2 \cdot 1} = \frac{-440}{2} = -220$

Так как масса воды ($x$) не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -220$ не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, первоначальное количество воды в растворе составляет 80 г.

Проверка: Первоначальный раствор: 20 г соли и 80 г воды. Масса раствора 100 г. Концентрация $C_1 = \frac{20}{100} \cdot 100\% = 20\%$. Новый раствор: 20 г соли и (80 + 100) = 180 г воды. Масса раствора 200 г. Концентрация $C_2 = \frac{20}{200} \cdot 100\% = 10\%$. Разница концентраций: $20\% - 10\% = 10\%$. Условие задачи выполняется.

Ответ: 80 г.