Номер 829, страница 202 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 24. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 829, страница 202.

Условие.

829. Автобус должен был проехать расстояние между двумя городами, равное 400 км, с некоторой скоростью. Проехав 2 ч с запланированной скоростью, он остановился на 20 мин и, чтобы прибыть в пункт назначения вовремя, увеличил скорость движения на 10 км/ч. С какой скоростью автобус должен был проехать расстояние между городами?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения задачи введем переменную и составим уравнение, исходя из условия, что автобус прибыл в пункт назначения вовремя, то есть фактическое время в пути равно плановому.

Пусть $v$ (км/ч) — это запланированная (начальная) скорость автобуса.
Общее расстояние равно 400 км.
Плановое время в пути составляет $T_{план} = \frac{S}{v} = \frac{400}{v}$ часов.

Разобьем фактическую поездку на этапы:
1. Движение с плановой скоростью: Автобус проехал 2 часа со скоростью $v$. Пройденное расстояние: $S_1 = 2v$ км.
2. Остановка: Время остановки составило 20 минут, что равно $\frac{20}{60} = \frac{1}{3}$ часа.
3. Движение с увеличенной скоростью:
- Оставшееся расстояние: $S_2 = 400 - S_1 = 400 - 2v$ км.
- Новая скорость: $v_2 = v + 10$ км/ч.
- Время, затраченное на оставшийся путь: $t_2 = \frac{S_2}{v_2} = \frac{400 - 2v}{v + 10}$ часов.

Общее фактическое время в пути $T_{факт}$ — это сумма времени всех этапов: $T_{факт} = 2 + \frac{1}{3} + \frac{400 - 2v}{v + 10}$ часов.

Так как по условию автобус прибыл вовремя, $T_{план} = T_{факт}$. Составим уравнение:

$\frac{400}{v} = 2 + \frac{1}{3} + \frac{400 - 2v}{v + 10}$

Упростим правую часть:

$\frac{400}{v} = \frac{7}{3} + \frac{400 - 2v}{v + 10}$

Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части уравнения на общий знаменатель $3v(v + 10)$, учитывая, что $v \neq 0$ и $v \neq -10$.

$400 \cdot 3(v + 10) = \frac{7}{3} \cdot 3v(v + 10) + \frac{400 - 2v}{v + 10} \cdot 3v(v + 10)$

$1200(v + 10) = 7v(v + 10) + 3v(400 - 2v)$

Раскроем скобки:

$1200v + 12000 = 7v^2 + 70v + 1200v - 6v^2$

Приведем подобные слагаемые:

$1200v + 12000 = v^2 + 1270v$

Перенесем все в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$v^2 + 1270v - 1200v - 12000 = 0$

$v^2 + 70v - 12000 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$a = 1, b = 70, c = -12000$

$D = 70^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12000) = 4900 + 48000 = 52900$

Найдем корни уравнения:

$v_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-70 \pm \sqrt{52900}}{2 \cdot 1} = \frac{-70 \pm 230}{2}$

$v_1 = \frac{-70 + 230}{2} = \frac{160}{2} = 80$

$v_2 = \frac{-70 - 230}{2} = \frac{-300}{2} = -150$

Скорость не может быть отрицательной величиной, поэтому корень $v_2 = -150$ не является решением задачи. Следовательно, запланированная скорость автобуса равна 80 км/ч.

Ответ: 80 км/ч.