Номер 830, страница 202 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 24. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 830, страница 202.

Условие.

830. Рабочий должен был за некоторое время изготовить 360 деталей. Первые 5 дней он ежедневно изготавливал запланированное количество деталей, а затем ежедневно изготавливал на 4 детали больше, и уже за день до срока изготовил 372 детали. Сколько деталей ежедневно должен был изготавливать рабочий по плану?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть $x$ — запланированное количество деталей, которое рабочий должен был изготавливать ежедневно (ежедневная производительность по плану).

Тогда запланированное время на изготовление 360 деталей составляет $t = \frac{360}{x}$ дней.

Составление уравнения по условию задачи:

Первые 5 дней рабочий работал по плану и изготовил $5x$ деталей.

Затем он увеличил свою производительность на 4 детали в день, то есть стал изготавливать $x+4$ деталей ежедневно.

Вся работа была закончена на 1 день раньше запланированного срока, то есть общее время работы составило $t-1$ дней.

Следовательно, после первых 5 дней рабочий трудился еще $(t-1) - 5 = t-6$ дней.

За эти $t-6$ дней он изготовил $(t-6)(x+4)$ деталей.

Всего за все время работы было изготовлено 372 детали. Составим уравнение, суммируя детали, изготовленные в два периода:
$5x + (t-6)(x+4) = 372$

Решение уравнения:

Подставим в это уравнение ранее найденное выражение для времени $t = \frac{360}{x}$:
$5x + \left(\frac{360}{x} - 6\right)(x+4) = 372$

Теперь решим это уравнение. Раскроем скобки:
$5x + \frac{360}{x} \cdot x + \frac{360}{x} \cdot 4 - 6 \cdot x - 6 \cdot 4 = 372$
$5x + 360 + \frac{1440}{x} - 6x - 24 = 372$

Приведем подобные слагаемые:
$(5x - 6x) + (360 - 24) + \frac{1440}{x} = 372$
$-x + 336 + \frac{1440}{x} = 372$

Перенесем число 336 в правую часть:
$-x + \frac{1440}{x} = 372 - 336$
$-x + \frac{1440}{x} = 36$

Чтобы избавиться от дроби, умножим все члены уравнения на $x$ (при условии, что $x \neq 0$, что логично для производительности):
$-x^2 + 1440 = 36x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 + 36x - 1440 = 0$

Решение квадратного уравнения:

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 36^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1440) = 1296 + 5760 = 7056$

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{7056} = 84$.

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-36 - 84}{2 \cdot 1} = \frac{-120}{2} = -60$
$x_2 = \frac{-36 + 84}{2 \cdot 1} = \frac{48}{2} = 24$

Так как $x$ обозначает количество деталей, изготавливаемых в день, это значение не может быть отрицательным. Поэтому корень $x_1 = -60$ не является решением задачи.

Следовательно, рабочий по плану должен был изготавливать 24 детали ежедневно.

Ответ: 24 детали.