Номер 828, страница 202 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 24. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 828, страница 202.

Условие.

828. Для наполнения бассейна через первую трубу требуется столько же времени, сколько для наполнения через вторую и третью трубы одновременно. Через первую трубу бассейн наполняется на 2 ч быстрее, чем через вторую, и на 8 ч быстрее, чем через третью. Сколько времени требуется для наполнения бассейна через каждую трубу?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть $t_1$, $t_2$ и $t_3$ — время в часах, за которое бассейн может наполниться через первую, вторую и третью трубу соответственно, если каждая работает отдельно.

Из условия задачи известно, что первая труба наполняет бассейн на 2 часа быстрее второй и на 8 часов быстрее третьей. Если время работы первой трубы обозначить как $x$, то время работы второй и третьей труб можно выразить через $x$:
$t_1 = x$
$t_2 = x + 2$
$t_3 = x + 8$

Производительность (часть бассейна, наполняемая за 1 час) для каждой трубы — это величина, обратная времени её работы. Примем весь объём бассейна за 1.
Производительность первой трубы: $P_1 = \frac{1}{t_1} = \frac{1}{x}$
Производительность второй трубы: $P_2 = \frac{1}{t_2} = \frac{1}{x+2}$
Производительность третьей трубы: $P_3 = \frac{1}{t_3} = \frac{1}{x+8}$

По условию, время наполнения бассейна через первую трубу равно времени наполнения через вторую и третью трубы, работающие одновременно. Это означает, что производительность первой трубы равна сумме производительностей второй и третьей труб:
$P_1 = P_2 + P_3$

Составим уравнение, подставив в него выражения для производительностей:
$\frac{1}{x} = \frac{1}{x+2} + \frac{1}{x+8}$

Решим полученное уравнение. Для этого приведём дроби в правой части к общему знаменателю:
$\frac{1}{x} = \frac{(x+8) + (x+2)}{(x+2)(x+8)}$
$\frac{1}{x} = \frac{2x + 10}{x^2 + 8x + 2x + 16}$
$\frac{1}{x} = \frac{2x + 10}{x^2 + 10x + 16}$

Используя свойство пропорции (перекрёстное умножение) и учитывая, что по смыслу задачи $x>0$:
$1 \cdot (x^2 + 10x + 16) = x \cdot (2x + 10)$
$x^2 + 10x + 16 = 2x^2 + 10x$

Вычтем $10x$ из обеих частей уравнения:
$x^2 + 16 = 2x^2$

Перенесём $x^2$ в правую часть:
$16 = 2x^2 - x^2$
$x^2 = 16$

Поскольку время $x$ не может быть отрицательным, выбираем положительный корень уравнения:
$x = 4$

Таким образом, время наполнения бассейна через первую трубу равно 4 часам. Теперь найдём время для двух других труб:
Время для второй трубы: $t_2 = x + 2 = 4 + 2 = 6$ часов.
Время для третьей трубы: $t_3 = x + 8 = 4 + 8 = 12$ часов.

Ответ: время наполнения бассейна через первую трубу — 4 часа, через вторую трубу — 6 часов, через третью трубу — 12 часов.