Номер 826, страница 202 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 24. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 826, страница 202.

Условие.

826. Через 2 ч 40 мин после отправления плота от пристани A по течению реки навстречу ему от пристани B отошёл катер. Найдите скорость течения реки, если плот и катер встретились на расстоянии 14 км от пристани A, скорость катера в стоячей воде равна 12 км/ч, а расстояние между пристанями A и B равно 32 км.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения задачи введем переменную и составим уравнение, исходя из условия.

1. Введение переменных и определение скоростей
Пусть $x$ км/ч — это скорость течения реки. Поскольку плот движется со скоростью течения, его скорость $v_{плота} = x$ км/ч.
Скорость катера в стоячей воде равна 12 км/ч. Катер движется от пристани В к пристани А, то есть против течения реки. Следовательно, его скорость относительно берега равна $v_{катера} = (12 - x)$ км/ч.

2. Анализ движения плота
Плот отправился от пристани А и до встречи проплыл 14 км. Время, затраченное плотом на этот путь, составляет:
$t_{плота} = \frac{S_{плота}}{v_{плота}} = \frac{14}{x}$ часов.

3. Анализ движения катера
Общее расстояние между пристанями А и В составляет 32 км. Поскольку встреча произошла на расстоянии 14 км от пристани А, катер, вышедший из В, прошел до встречи расстояние:
$S_{катера} = 32 - 14 = 18$ км.
Время, затраченное катером на этот путь, составляет:
$t_{катера} = \frac{S_{катера}}{v_{катера}} = \frac{18}{12 - x}$ часов.

4. Составление и решение уравнения
Из условия известно, что катер отправился в путь на 2 часа 40 минут позже плота. Это означает, что время движения плота было на 2 ч 40 мин больше, чем время движения катера. Переведем это время в часы:
$2 \text{ ч } 40 \text{ мин } = 2 + \frac{40}{60} \text{ ч } = 2 + \frac{2}{3} \text{ ч } = \frac{8}{3}$ часа.
Теперь мы можем составить уравнение, связывающее время движения обоих объектов:
$t_{плота} - t_{катера} = \frac{8}{3}$
Подставим в него выражения для времени:
$\frac{14}{x} - \frac{18}{12 - x} = \frac{8}{3}$
Для решения уравнения приведем дроби к общему знаменателю $3x(12 - x)$. Учтем, что по физическому смыслу задачи $x > 0$, а также скорость катера против течения должна быть положительной, то есть $12 - x > 0$, откуда $x < 12$. Таким образом, искомое значение $x$ находится в интервале $(0; 12)$.
$14 \cdot 3(12 - x) - 18 \cdot 3x = 8 \cdot x(12 - x)$
$42(12 - x) - 54x = 8x(12 - x)$
$504 - 42x - 54x = 96x - 8x^2$
$504 - 96x = 96x - 8x^2$
Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:
$8x^2 - 96x - 96x + 504 = 0$
$8x^2 - 192x + 504 = 0$
Для упрощения разделим обе части уравнения на 8:
$x^2 - 24x + 63 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 24, а их произведение — 63. Корнями являются числа 3 и 21.
$x_1 = 3$, $x_2 = 21$.
Проверим, удовлетворяют ли корни условию $0 < x < 12$.
Корень $x_1 = 3$ удовлетворяет этому условию.
Корень $x_2 = 21$ не удовлетворяет условию, так как скорость течения не может быть больше собственной скорости катера, если он движется против течения.
Следовательно, скорость течения реки равна 3 км/ч.

Ответ: 3 км/ч.