Номер 832, страница 202 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 24. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций - номер 832, страница 202.

Условие.

832. Вычислите:

1) $ (27 \cdot 3^{-4})^2 $

2) $ \frac{7^{-4} \cdot 7^{-9}}{7^{-12}} $

3) $ (10^9)^2 \cdot 1000^{-6} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 8.

1) $(27 \cdot 3^{-4})^2$

Для решения этого примера используем свойства степеней. Сначала представим число 27 как степень числа 3: $27 = 3^3$.

Подставим это значение в исходное выражение, получив $(3^3 \cdot 3^{-4})^2$.

Далее, используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$), упростим выражение в скобках: $3^3 \cdot 3^{-4} = 3^{3+(-4)} = 3^{-1}$.

Теперь выражение принимает вид $(3^{-1})^2$. Применим свойство возведения степени в степень ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$): $(3^{-1})^2 = 3^{-1 \cdot 2} = 3^{-2}$.

Наконец, вычислим итоговое значение, используя определение степени с отрицательным показателем ($a^{-n} = \frac{1}{a^n}$): $3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$.

Ответ: $\frac{1}{9}$

2) $\frac{7^{-4} \cdot 7^{-9}}{7^{-12}}$

Для решения используем свойства степеней с одинаковым основанием. Сначала упростим числитель дроби, сложив показатели степеней при умножении ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$): $7^{-4} \cdot 7^{-9} = 7^{-4 + (-9)} = 7^{-13}$.

Теперь выражение имеет вид $\frac{7^{-13}}{7^{-12}}$.

Далее упростим дробь, вычитая показатель знаменателя из показателя числителя ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$): $\frac{7^{-13}}{7^{-12}} = 7^{-13 - (-12)} = 7^{-13 + 12} = 7^{-1}$.

Вычислим конечное значение, используя определение степени с отрицательным показателем: $7^{-1} = \frac{1}{7}$.

Ответ: $\frac{1}{7}$

3) $(10^9)^2 \cdot 1000^{-6}$

Упростим первую часть выражения, используя правило возведения степени в степень ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$): $(10^9)^2 = 10^{9 \cdot 2} = 10^{18}$.

Далее, представим число 1000 как степень числа 10: $1000 = 10^3$.

Подставим это во вторую часть выражения и упростим ее: $1000^{-6} = (10^3)^{-6} = 10^{3 \cdot (-6)} = 10^{-18}$.

Теперь все выражение выглядит так: $10^{18} \cdot 10^{-18}$.

Используем правило умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$): $10^{18} \cdot 10^{-18} = 10^{18 + (-18)} = 10^0$.

Любое ненулевое число в степени 0 равно 1 ($a^0=1$), поэтому $10^0 = 1$.

Ответ: $1$