Номер 837, страница 203 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 24. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций - номер 837, страница 203.

Условие.

837. Упростите выражение:

1) $ \left(\frac{1}{4}a^{-1}b^{-3}\right)^{-2} $

2) $ \left(\frac{a^4}{b^{-5}}\right)^{-3} $

3) $ (0.2a^{-1}b^2)^2 \cdot 4a^5b^{-4} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для упрощения выражения $(\frac{1}{4}a^{-1}b^{-3})^{-2}$ воспользуемся свойством степени $(xyz)^n = x^n y^n z^n$. Возведем каждый множитель в скобках в степень $-2$:

$(\frac{1}{4}a^{-1}b^{-3})^{-2} = (\frac{1}{4})^{-2} \cdot (a^{-1})^{-2} \cdot (b^{-3})^{-2}$

Теперь применим свойства $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$ и $(x^m)^n = x^{mn}$:

$(\frac{1}{4})^{-2} = (4^{-1})^{-2} = 4^{(-1) \cdot (-2)} = 4^2 = 16$

$(a^{-1})^{-2} = a^{(-1) \cdot (-2)} = a^2$

$(b^{-3})^{-2} = b^{(-3) \cdot (-2)} = b^6$

Перемножим полученные результаты:

$16 \cdot a^2 \cdot b^6 = 16a^2b^6$

Ответ: $16a^2b^6$.

2) Для упрощения выражения $(\frac{a^4}{b^{-5}})^{-3}$ воспользуемся свойством степени $(\frac{x}{y})^n = \frac{x^n}{y^n}$:

$(\frac{a^4}{b^{-5}})^{-3} = \frac{(a^4)^{-3}}{(b^{-5})^{-3}}$

Применим свойство $(x^m)^n = x^{mn}$ к числителю и знаменателю:

$(a^4)^{-3} = a^{4 \cdot (-3)} = a^{-12}$

$(b^{-5})^{-3} = b^{(-5) \cdot (-3)} = b^{15}$

Таким образом, выражение принимает вид:

$\frac{a^{-12}}{b^{15}}$

Используя свойство $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$, перенесем $a^{-12}$ в знаменатель:

$\frac{1}{a^{12}b^{15}}$

Ответ: $\frac{1}{a^{12}b^{15}}$.

3) Для упрощения выражения $(0.2a^{-1}b^2)^2 \cdot 4a^5b^{-4}$ сначала раскроем скобки, возведя в квадрат каждый множитель:

$(0.2a^{-1}b^2)^2 = (0.2)^2 \cdot (a^{-1})^2 \cdot (b^2)^2 = 0.04 \cdot a^{-1 \cdot 2} \cdot b^{2 \cdot 2} = 0.04a^{-2}b^4$

Теперь подставим полученное выражение в исходное:

$0.04a^{-2}b^4 \cdot 4a^5b^{-4}$

Сгруппируем числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями:

$(0.04 \cdot 4) \cdot (a^{-2} \cdot a^5) \cdot (b^4 \cdot b^{-4})$

Перемножим их, используя свойство $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:

$0.04 \cdot 4 = 0.16$

$a^{-2} \cdot a^5 = a^{-2+5} = a^3$

$b^4 \cdot b^{-4} = b^{4-4} = b^0 = 1$ (при $b \neq 0$)

Соберем все вместе:

$0.16 \cdot a^3 \cdot 1 = 0.16a^3$

Ответ: $0.16a^3$.