Страница 203 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

833. Найдите значение выражения $a^2 - 2\sqrt{5}a + 2$ при $a = \sqrt{5} - 3$.

Для того чтобы найти значение выражения $a^2 - 2\sqrt{5}a + 2$ при $a = \sqrt{5} - 3$, можно подставить значение $a$ напрямую, но проще сначала преобразовать само выражение.

Заметим, что часть выражения $a^2 - 2\sqrt{5}a$ очень похожа на первые два члена формулы квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. В нашем случае $x=a$ и $y=\sqrt{5}$.

Выделим полный квадрат в исходном выражении. Для этого добавим и отнимем $(\sqrt{5})^2 = 5$:

$a^2 - 2\sqrt{5}a + 2 = (a^2 - 2\cdot a \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2) - (\sqrt{5})^2 + 2$

Теперь мы можем свернуть выражение в скобках по формуле квадрата разности, а оставшиеся числа посчитать:

$(a - \sqrt{5})^2 - 5 + 2 = (a - \sqrt{5})^2 - 3$

Мы упростили исходное выражение. Теперь подставим в него заданное значение $a = \sqrt{5} - 3$:

$((\sqrt{5} - 3) - \sqrt{5})^2 - 3$

Упростим выражение внутри скобок:

$\sqrt{5} - 3 - \sqrt{5} = -3$

Теперь возведем полученное число в квадрат и выполним вычитание:

$(-3)^2 - 3 = 9 - 3 = 6$

Ответ: $6$

834. Постройте график функции $y = -2x + 4$.

1) Чему равен нуль данной функции?

2) Укажите значения $x$, при которых $y > 0$.

3) Проходит ли график функции через точку $M (-36; 68)$?

Функция $y = -2x + 4$ является линейной, её график — прямая. Для построения прямой достаточно найти координаты двух точек.

Составим таблицу значений:

• Если $x = 0$, то $y = -2 \cdot 0 + 4 = 4$. Получаем точку $(0; 4)$.
• Если $x = 2$, то $y = -2 \cdot 2 + 4 = -4 + 4 = 0$. Получаем точку $(2; 0)$.

Для построения графика необходимо отметить эти две точки на координатной плоскости и провести через них прямую.

1) Чему равен нуль данной функции?

Нуль функции — это значение аргумента $x$, при котором значение функции $y$ равно нулю. Для нахождения нуля функции решим уравнение $y = 0$.

$-2x + 4 = 0$

$-2x = -4$

$x = \frac{-4}{-2}$

$x = 2$

Ответ: нуль функции равен 2.

2) Укажите значения x, при которых y > 0.

Чтобы найти значения $x$, при которых $y > 0$, необходимо решить неравенство:

$-2x + 4 > 0$

Перенесем 4 в правую часть:

$-2x > -4$

Разделим обе части неравенства на -2. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x < \frac{-4}{-2}$

$x < 2$

Ответ: $y > 0$ при $x < 2$.

3) Проходит ли график функции через точку M (-36; 68)?

Чтобы проверить, проходит ли график функции через точку $M(-36; 68)$, подставим её координаты ($x = -36$, $y = 68$) в уравнение функции $y = -2x + 4$ и проверим, будет ли равенство верным.

Подставляем значения:

$68 = -2(-36) + 4$

$68 = 72 + 4$

$68 = 76$

Полученное равенство $68 = 76$ является неверным. Следовательно, точка $M$ не принадлежит графику данной функции.

Ответ: нет, график функции не проходит через точку $M(-36; 68)$.

835. При каком значении $k$ график функции $y = \frac{k}{x}$ проходит через точку $A(-\sqrt{12}; \sqrt{3})$? Постройте этот график.

Нахождение коэффициента k

Для того чтобы график функции $y = \frac{k}{x}$ проходил через точку $A(-\sqrt{12}; \sqrt{3})$, координаты этой точки должны удовлетворять уравнению функции. Подставим значения $x = -\sqrt{12}$ и $y = \sqrt{3}$ в уравнение:

$\sqrt{3} = \frac{k}{-\sqrt{12}}$

Теперь выразим коэффициент $k$:

$k = \sqrt{3} \cdot (-\sqrt{12})$

Упростим полученное выражение, используя свойство произведения корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$:

$k = -\sqrt{3 \cdot 12} = -\sqrt{36}$

$k = -6$

Ответ: $k = -6$.

Построение графика

После нахождения $k$ уравнение функции принимает вид $y = -\frac{6}{x}$.

Графиком этой функции является гипербола. Так как коэффициент $k = -6$ отрицателен, ветви гиперболы расположены во второй и четвертой координатных четвертях. Асимптотами графика являются оси координат $Ox$ и $Oy$.

Для построения графика найдем координаты нескольких точек, принадлежащих каждой ветви, составив таблицу значений.

Ветвь во II четверти (при $x < 0$):

• Если $x = -6$, то $y = -\frac{6}{-6} = 1$. Точка $(-6, 1)$.
• Если $x = -3$, то $y = -\frac{6}{-3} = 2$. Точка $(-3, 2)$.
• Если $x = -2$, то $y = -\frac{6}{-2} = 3$. Точка $(-2, 3)$.
• Если $x = -1$, то $y = -\frac{6}{-1} = 6$. Точка $(-1, 6)$.

Ветвь в IV четверти (при $x > 0$):

• Если $x = 1$, то $y = -\frac{6}{1} = -6$. Точка $(1, -6)$.
• Если $x = 2$, то $y = -\frac{6}{2} = -3$. Точка $(2, -3)$.
• Если $x = 3$, то $y = -\frac{6}{3} = -2$. Точка $(3, -2)$.
• Если $x = 6$, то $y = -\frac{6}{6} = -1$. Точка $(6, -1)$.

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавными кривыми, получим график функции — гиперболу. Каждая ветвь будет неограниченно приближаться к осям координат, не пересекая их. Исходная точка $A(-\sqrt{12}; \sqrt{3})$ также будет лежать на этой гиперболе, так как $y(-\sqrt{12}) = -\frac{6}{-\sqrt{12}} = \frac{6}{\sqrt{12}} = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$.

Ответ: Графиком функции является гипербола $y = -\frac{6}{x}$ с ветвями во II и IV координатных четвертях, проходящая через точки $(-6, 1)$, $(-3, 2)$, $(-2, 3)$, $(-1, 6)$ и $(1, -6)$, $(2, -3)$, $(3, -2)$, $(6, -1)$.

836. Какое из равенств верно: $\sqrt{(\sqrt{3}-2)^2} = \sqrt{3}-2$ или $\sqrt{(\sqrt{3}-2)^2} = 2-\sqrt{3}$?
Ответ обоснуйте.

Чтобы определить, какое из равенств верно, необходимо воспользоваться определением арифметического квадратного корня из квадрата числа. Для любого действительного числа $a$ справедливо тождество:

$\sqrt{a^2} = |a|$

где $|a|$ – это модуль (абсолютная величина) числа $a$.

Применим это правило к выражению $\sqrt{(\sqrt{3}-2)^2}$:

$\sqrt{(\sqrt{3}-2)^2} = |\sqrt{3}-2|$

Далее, чтобы раскрыть модуль, нужно определить знак выражения под модулем, то есть $\sqrt{3}-2$. Для этого сравним числа $\sqrt{3}$ и $2$.

Можно сравнить их квадраты:

$(\sqrt{3})^2 = 3$

$2^2 = 4$

Так как $3 < 4$, то и $\sqrt{3} < \sqrt{4}$, следовательно, $\sqrt{3} < 2$.

Это означает, что разность $\sqrt{3}-2$ является отрицательным числом.

По определению модуля, если выражение под знаком модуля отрицательно ($a < 0$), то его модуль равен противоположному выражению ($|a| = -a$).

Следовательно:

$|\sqrt{3}-2| = -(\sqrt{3}-2) = -\sqrt{3} + 2 = 2 - \sqrt{3}$

Таким образом, верным является второе равенство.

Ответ: Верно равенство $\sqrt{(\sqrt{3}-2)^2} = 2-\sqrt{3}$.

837. Упростите выражение:

1) $ \left(\frac{1}{4}a^{-1}b^{-3}\right)^{-2} $

2) $ \left(\frac{a^4}{b^{-5}}\right)^{-3} $

3) $ (0.2a^{-1}b^2)^2 \cdot 4a^5b^{-4} $

1) Для упрощения выражения $(\frac{1}{4}a^{-1}b^{-3})^{-2}$ воспользуемся свойством степени $(xyz)^n = x^n y^n z^n$. Возведем каждый множитель в скобках в степень $-2$:

$(\frac{1}{4}a^{-1}b^{-3})^{-2} = (\frac{1}{4})^{-2} \cdot (a^{-1})^{-2} \cdot (b^{-3})^{-2}$

Теперь применим свойства $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$ и $(x^m)^n = x^{mn}$:

$(\frac{1}{4})^{-2} = (4^{-1})^{-2} = 4^{(-1) \cdot (-2)} = 4^2 = 16$

$(a^{-1})^{-2} = a^{(-1) \cdot (-2)} = a^2$

$(b^{-3})^{-2} = b^{(-3) \cdot (-2)} = b^6$

Перемножим полученные результаты:

$16 \cdot a^2 \cdot b^6 = 16a^2b^6$

Ответ: $16a^2b^6$.

2) Для упрощения выражения $(\frac{a^4}{b^{-5}})^{-3}$ воспользуемся свойством степени $(\frac{x}{y})^n = \frac{x^n}{y^n}$:

$(\frac{a^4}{b^{-5}})^{-3} = \frac{(a^4)^{-3}}{(b^{-5})^{-3}}$

Применим свойство $(x^m)^n = x^{mn}$ к числителю и знаменателю:

$(a^4)^{-3} = a^{4 \cdot (-3)} = a^{-12}$

$(b^{-5})^{-3} = b^{(-5) \cdot (-3)} = b^{15}$

Таким образом, выражение принимает вид:

$\frac{a^{-12}}{b^{15}}$

Используя свойство $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$, перенесем $a^{-12}$ в знаменатель:

$\frac{1}{a^{12}b^{15}}$

Ответ: $\frac{1}{a^{12}b^{15}}$.

3) Для упрощения выражения $(0.2a^{-1}b^2)^2 \cdot 4a^5b^{-4}$ сначала раскроем скобки, возведя в квадрат каждый множитель:

$(0.2a^{-1}b^2)^2 = (0.2)^2 \cdot (a^{-1})^2 \cdot (b^2)^2 = 0.04 \cdot a^{-1 \cdot 2} \cdot b^{2 \cdot 2} = 0.04a^{-2}b^4$

Теперь подставим полученное выражение в исходное:

$0.04a^{-2}b^4 \cdot 4a^5b^{-4}$

Сгруппируем числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями:

$(0.04 \cdot 4) \cdot (a^{-2} \cdot a^5) \cdot (b^4 \cdot b^{-4})$

Перемножим их, используя свойство $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:

$0.04 \cdot 4 = 0.16$

$a^{-2} \cdot a^5 = a^{-2+5} = a^3$

$b^4 \cdot b^{-4} = b^{4-4} = b^0 = 1$ (при $b \neq 0$)

Соберем все вместе:

$0.16 \cdot a^3 \cdot 1 = 0.16a^3$

Ответ: $0.16a^3$.

838. На тарелке лежит 9 кусочков сыра разной массы. Докажите, что можно один из кусочков сыра разрезать на две части так, что полученные 10 кусочков можно будет разложить на две тарелки и при этом масса сыра на каждой из них будет одинаковой.

Обозначим массы девяти кусочков сыра как $m_1, m_2, \dots, m_9$. Все массы по условию различны и положительны. Общая масса всего сыра равна $M = \sum_{i=1}^{9} m_i$.

Наша цель — разрезать один из кусочков на две части, получив в итоге 10 кусочков, которые можно разложить на две тарелки с равной массой сыра на каждой. Если общая масса $M$ делится поровну, то на каждой тарелке должно оказаться по $M/2$ сыра.

Доказательство можно построить следующим образом.

1. Сведение задачи к поиску подходящего распределения масс

Рассмотрим произвольное распределение исходных 9 кусочков по двум тарелкам. Пусть на первой тарелке оказалась масса $S_1$, а на второй — $S_2$. Очевидно, что $S_1 + S_2 = M$.

Пусть $S_1 \ge S_2$. Если $S_1 = S_2$, то массы уже равны. Мы можем разрезать любой кусочек на две части и положить обе части на ту же тарелку, где был исходный кусок. В результате у нас будет 10 кусочков, и массы на тарелках по-прежнему будут равны. Задача в этом случае решена.

Рассмотрим нетривиальный случай, когда $S_1 > S_2$. Разница в массах составляет $D = S_1 - S_2 > 0$. Чтобы уравнять массы, нам нужно перенести часть сыра с первой (более тяжелой) тарелки на вторую. Возьмем какой-нибудь кусочек с массой $m_k$ с первой тарелки. Разрежем его на две части: $x$ и $m_k-x$. Часть массой $x$ переложим на вторую тарелку, а часть $m_k-x$ оставим на первой.

Новая масса на первой тарелке станет $S_1' = S_1 - x$.
Новая масса на второй тарелке станет $S_2' = S_2 + x$.

Мы хотим, чтобы $S_1' = S_2'$, то есть $S_1 - x = S_2 + x$. Отсюда $2x = S_1 - S_2 = D$, и $x = D/2$.

Такой разрез возможен, если выполняются два условия:

1. Кусочек с массой $m_k$ действительно находится на более тяжелой, первой тарелке.
2. Размер отрезаемой части $x$ должен быть строго между 0 и массой целого куска $m_k$, то есть $0 < x < m_k$. Подставляя $x=D/2$, получаем $0 < D/2 < m_k$, что равносильно $0 < D < 2m_k$.

Таким образом, задача сводится к доказательству того, что существует такое распределение исходных 9 кусков по двум тарелкам, что для некоторого куска $m_k$ на более тяжелой тарелке выполняется условие $0 < D < 2m_k$, где $D$ — разница масс.

2. Использование метода крайнего

Любое распределение 9 кусочков по двум тарелкам можно описать набором знаков $\{\epsilon_1, \epsilon_2, \dots, \epsilon_9\}$, где $\epsilon_i = +1$, если кусок $m_i$ лежит на первой тарелке, и $\epsilon_i = -1$, если он на второй. Разность масс $D$ для такого распределения равна $D = \sum_{i=1}^{9} \epsilon_i m_i$.

Всего существует $2^9 = 512$ таких распределений и, соответственно, 512 возможных значений разности $D$ (некоторые из них могут совпадать). Поскольку общая масса $M = \sum m_i > 0$, среди этих значений точно есть положительные (например, когда все $\epsilon_i=1$, $D=M$).

Рассмотрим множество всех положительных значений разностей $D$ и выберем из них наименьшее. Обозначим его $D^*$.$D^* = \min \{ \sum_{i=1}^{9} \epsilon_i m_i \mid \sum_{i=1}^{9} \epsilon_i m_i > 0 \}$.

Пусть это минимальное положительное значение достигается при наборе знаков $\{\epsilon_1^*, \epsilon_2^*, \dots, \epsilon_9^*\}$.

3. Доказательство от противного

Для разности $D^*$ первая тарелка тяжелее второй. На ней лежат все кусочки $m_k$, для которых $\epsilon_k^* = 1$. Докажем, что хотя бы для одного из этих кусочков выполняется условие $D^* < 2m_k$.

Предположим противное: пусть для всех кусочков $m_k$, лежащих на первой тарелке (т.е. для всех $k$, где $\epsilon_k^*=1$), выполняется неравенство $D^* \ge 2m_k$.

Поскольку $D^* > 0$, должен существовать хотя бы один кусок на первой тарелке (иначе $D^* = \sum (-1)m_i = -M < 0$). Возьмем любой из них, скажем $m_j$ (то есть $\epsilon_j^*=1$).

Рассмотрим новое распределение, которое получается из текущего переносом куска $m_j$ с первой тарелки на вторую. Это равносильно изменению знака $\epsilon_j^*$ с $+1$ на $-1$. Новая разность масс $D'$ будет равна:

$D' = (\sum_{i \ne j} \epsilon_i^* m_i) - m_j = (\sum_{i=1}^{9} \epsilon_i^* m_i - m_j) - m_j = D^* - 2m_j$.

Проанализируем значение $D'$:

• Согласно нашему предположению, $D^* \ge 2m_j$. Следовательно, $D' = D^* - 2m_j \ge 0$.
• $D'$ не может быть равно 0. Если $D' = 0$, то $D^* = 2m_j$. Это означает, что для исходного распределения разность масс была $2m_j$. В этом случае можно было бы просто переложить кусок $m_j$ на вторую тарелку, и массы бы уравнялись ($S_1' = S_1-m_j$, $S_2' = S_2+m_j$, $S_1'-S_2' = S_1-S_2-2m_j = D^*-2m_j = 0$). Мы бы получили 9 кусков, разделенных на две равные по массе кучки. Тогда, как было сказано вначале, достаточно разрезать любой кусок и положить обе части на ту же тарелку, чтобы получить 10 кусков и сохранить равенство. Таким образом, этот случай нас тоже устраивает.
• Будем считать, что $D' \ne 0$. Тогда из $D' \ge 0$ следует, что $D' > 0$.
• Так как масса $m_j$ строго положительна, то $D' = D^* - 2m_j < D^*$.

Итак, мы получили новую положительную разность $D'$, которая строго меньше $D^*$. Но это противоречит нашему выбору $D^*$ как наименьшей положительной разности.

4. Заключение

Полученное противоречие означает, что наше предположение было неверным. Следовательно, неверно, что для всех $k$ с $\epsilon_k^*=1$ выполняется $D^* \ge 2m_k$. Значит, существует по крайней мере один кусочек $m_k$ на первой (более тяжелой) тарелке, для которого выполняется неравенство $D^* < 2m_k$.

Это именно то, что нам требовалось. Мы нашли распределение (которое дает разность $D^*$) и кусок $m_k$ на более тяжелой тарелке, который можно разрезать на части $x=D^*/2$ и $m_k-D^*/2$ и, переложив первую часть на другую тарелку, добиться идеального равенства масс.

Ответ: Утверждение доказано. Всегда можно найти способ разрезать один из 9 кусочков сыра так, чтобы полученные 10 кусочков можно было разложить на две тарелки с одинаковой массой сыра на каждой.