Страница 199 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

802. Первые 150 км дороги из города A в город B автомобиль проехал с некоторой скоростью, а остальные 240 км – со скоростью на $5 \text{ км/ч}$ большей. Найдите первоначальную скорость автомобиля, если на весь путь из города A в город B он потратил 5 ч.

Пусть первоначальная скорость автомобиля равна $x$ км/ч. На первых 150 км пути автомобиль ехал с этой скоростью.

На оставшихся 240 км пути скорость автомобиля была на 5 км/ч больше, то есть составляла $(x + 5)$ км/ч.

Время, затраченное на первый участок пути, вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$ и равно $t_1 = \frac{150}{x}$ часов.

Время, затраченное на второй участок пути, равно $t_2 = \frac{240}{x+5}$ часов.

Общее время в пути, по условию задачи, составляет 5 часов. Мы можем составить уравнение, сложив время, затраченное на оба участка: $t_1 + t_2 = 5$
$\frac{150}{x} + \frac{240}{x+5} = 5$

Для упрощения решения разделим обе части уравнения на 5: $\frac{30}{x} + \frac{48}{x+5} = 1$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+5)$. Заметим, что по смыслу задачи скорость $x$ должна быть положительным числом ($x > 0$).
$\frac{30(x+5) + 48x}{x(x+5)} = 1$

Умножим обе части уравнения на знаменатель $x(x+5)$, чтобы избавиться от дроби:
$30(x+5) + 48x = x(x+5)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$30x + 150 + 48x = x^2 + 5x$
$78x + 150 = x^2 + 5x$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$:
$x^2 + 5x - 78x - 150 = 0$
$x^2 - 73x - 150 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-73)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-150) = 5329 + 600 = 5929$
$\sqrt{D} = \sqrt{5929} = 77$

Теперь найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{73 + 77}{2 \cdot 1} = \frac{150}{2} = 75$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{73 - 77}{2 \cdot 1} = \frac{-4}{2} = -2$

Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет условию задачи, так как скорость не может быть отрицательной. Следовательно, первоначальная скорость автомобиля равна 75 км/ч.

Выполним проверку:
Время на первом участке: $\frac{150 \text{ км}}{75 \text{ км/ч}} = 2$ ч.
Скорость на втором участке: $75 + 5 = 80$ км/ч.
Время на втором участке: $\frac{240 \text{ км}}{80 \text{ км/ч}} = 3$ ч.
Общее время в пути: $2 \text{ ч} + 3 \text{ ч} = 5$ ч.
Полученный результат соответствует условию задачи.

Ответ: 75 км/ч.

803. Первый мотоциклист проезжает 90 км на 18 мин быстрее второго, поскольку его скорость на 10 км/ч больше скорости второго мотоциклиста. Найдите скорость каждого мотоциклиста.

Пусть скорость второго мотоциклиста равна $x$ км/ч. Согласно условию, скорость первого мотоциклиста на 10 км/ч больше, следовательно, она равна $(x + 10)$ км/ч.

Время, за которое первый мотоциклист проезжает 90 км, составляет $t_1 = \frac{90}{x+10}$ часов. Время, за которое второй мотоциклист проезжает то же расстояние, составляет $t_2 = \frac{90}{x}$ часов.

Разница во времени составляет 18 минут. Переведем это значение в часы для согласования единиц измерения:

$18 \text{ мин} = \frac{18}{60} \text{ ч} = \frac{3}{10} \text{ ч}$

Поскольку первый мотоциклист едет быстрее, его время в пути меньше. Значит, разница между временем второго и первого мотоциклиста составляет $\frac{3}{10}$ часа. Составим уравнение:

$t_2 - t_1 = \frac{90}{x} - \frac{90}{x+10} = \frac{3}{10}$

Приведем левую часть к общему знаменателю $x(x+10)$:

$\frac{90(x+10) - 90x}{x(x+10)} = \frac{3}{10}$

$\frac{90x + 900 - 90x}{x^2 + 10x} = \frac{3}{10}$

$\frac{900}{x^2 + 10x} = \frac{3}{10}$

Используя основное свойство пропорции, получаем:

$3(x^2 + 10x) = 900 \cdot 10$

$3x^2 + 30x = 9000$

Разделим обе части уравнения на 3, чтобы упростить его:

$x^2 + 10x = 3000$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 10x - 3000 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3000) = 100 + 12000 = 12100$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{12100} = 110$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 + 110}{2} = \frac{100}{2} = 50$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 - 110}{2} = \frac{-120}{2} = -60$

Скорость не может быть отрицательной величиной, поэтому корень $x_2 = -60$ не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, скорость второго мотоциклиста равна $x = 50$ км/ч.

Тогда скорость первого мотоциклиста равна $x + 10 = 50 + 10 = 60$ км/ч.

Ответ: скорость первого мотоциклиста — 60 км/ч, скорость второго мотоциклиста — 50 км/ч.