Страница 192 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

788. Решите уравнение:

1) $\frac{60}{x} - \frac{60}{x+10} = \frac{1}{5};$

2) $\frac{x}{x+2} + \frac{x+2}{x-2} = \frac{16}{x^2-4};$

3) $\frac{9}{x+3} + \frac{14}{x-3} = \frac{24}{x};$

4) $\frac{2y+3}{2y+2} - \frac{y+1}{2y-2} + \frac{1}{y^2-1} = 0;$

5) $\frac{3x}{x^2-10x+25} - \frac{x-3}{x^2-5x} = \frac{1}{x};$

6) $\frac{x-20}{x^2+10x} + \frac{10}{x^2-100} - \frac{5}{x^2-10x} = 0.$

1)

Исходное уравнение: $\frac{60}{x} - \frac{60}{x+10} = \frac{1}{5}$.

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 0$ и $x+10 \neq 0$, то есть $x \neq -10$.

Найдем общий знаменатель дробей. Это $5x(x+10)$. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель, чтобы избавиться от дробей:

$5x(x+10) \cdot \frac{60}{x} - 5x(x+10) \cdot \frac{60}{x+10} = 5x(x+10) \cdot \frac{1}{5}$

$5(x+10) \cdot 60 - 5x \cdot 60 = x(x+10)$

Раскроем скобки и упростим:

$300(x+10) - 300x = x^2 + 10x$

$300x + 3000 - 300x = x^2 + 10x$

$3000 = x^2 + 10x$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:

$x^2 + 10x - 3000 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3000) = 100 + 12000 = 12100$

$\sqrt{D} = \sqrt{12100} = 110$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-10 + 110}{2 \cdot 1} = \frac{100}{2} = 50$

$x_2 = \frac{-10 - 110}{2 \cdot 1} = \frac{-120}{2} = -60$

Оба корня (50 и -60) удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0$ и $x \neq -10$).

Ответ: $50; -60$.

2)

Исходное уравнение: $\frac{x}{x+2} + \frac{x+2}{x-2} = \frac{16}{x^2-4}$.

ОДЗ: $x+2 \neq 0$, $x-2 \neq 0$, $x^2-4 \neq 0$. Так как $x^2-4 = (x-2)(x+2)$, то ОДЗ: $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

Общий знаменатель: $(x-2)(x+2)$. Умножим обе части уравнения на него:

$(x-2)(x+2) \cdot \frac{x}{x+2} + (x-2)(x+2) \cdot \frac{x+2}{x-2} = (x-2)(x+2) \cdot \frac{16}{(x-2)(x+2)}$

$x(x-2) + (x+2)(x+2) = 16$

$x^2 - 2x + x^2 + 4x + 4 = 16$

$2x^2 + 2x + 4 - 16 = 0$

$2x^2 + 2x - 12 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$x^2 + x - 6 = 0$

По теореме Виета, сумма корней $x_1+x_2=-1$, а произведение $x_1 \cdot x_2=-6$. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -3$.

Проверим корни по ОДЗ. Корень $x_1=2$ не удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 2$), поэтому является посторонним. Корень $x_2=-3$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $-3$.

3)

Исходное уравнение: $\frac{9}{x+3} + \frac{14}{x-3} = \frac{24}{x}$.

ОДЗ: $x+3 \neq 0$, $x-3 \neq 0$, $x \neq 0$. То есть $x \neq -3, x \neq 3, x \neq 0$.

Общий знаменатель: $x(x+3)(x-3)$. Умножим обе части на него:

$9x(x-3) + 14x(x+3) = 24(x+3)(x-3)$

$9x^2 - 27x + 14x^2 + 42x = 24(x^2 - 9)$

$23x^2 + 15x = 24x^2 - 216$

$24x^2 - 23x^2 - 15x - 216 = 0$

$x^2 - 15x - 216 = 0$

Решим через дискриминант: $D = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-216) = 225 + 864 = 1089$.

$\sqrt{D} = \sqrt{1089} = 33$

$x_1 = \frac{15+33}{2} = \frac{48}{2} = 24$

$x_2 = \frac{15-33}{2} = \frac{-18}{2} = -9$

Оба корня (24 и -9) удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $24; -9$.

4)

Исходное уравнение: $\frac{2y+3}{2y+2} - \frac{y+1}{2y-2} + \frac{1}{y^2-1} = 0$.

Преобразуем знаменатели: $\frac{2y+3}{2(y+1)} - \frac{y+1}{2(y-1)} + \frac{1}{(y-1)(y+1)} = 0$.

ОДЗ: $y+1 \neq 0$, $y-1 \neq 0$, то есть $y \neq -1$ и $y \neq 1$.

Общий знаменатель: $2(y-1)(y+1)$. Умножим обе части на него:

$(y-1)(2y+3) - (y+1)(y+1) + 2 \cdot 1 = 0$

$(2y^2 + 3y - 2y - 3) - (y^2 + 2y + 1) + 2 = 0$

$2y^2 + y - 3 - y^2 - 2y - 1 + 2 = 0$

$y^2 - y - 2 = 0$

По теореме Виета: $y_1+y_2=1$, $y_1 \cdot y_2=-2$. Корни: $y_1 = 2$ и $y_2 = -1$.

Проверим корни по ОДЗ. Корень $y_2 = -1$ не удовлетворяет ОДЗ ($y \neq -1$), это посторонний корень. Корень $y_1 = 2$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $2$.

5)

Исходное уравнение: $\frac{3x}{x^2-10x+25} - \frac{x-3}{x^2-5x} = \frac{1}{x}$.

Преобразуем знаменатели: $\frac{3x}{(x-5)^2} - \frac{x-3}{x(x-5)} = \frac{1}{x}$.

ОДЗ: $x \neq 0$ и $x-5 \neq 0$, то есть $x \neq 5$.

Общий знаменатель: $x(x-5)^2$. Умножим обе части на него:

$x(3x) - (x-5)(x-3) = (x-5)^2$

$3x^2 - (x^2 - 3x - 5x + 15) = x^2 - 10x + 25$

$3x^2 - (x^2 - 8x + 15) = x^2 - 10x + 25$

$3x^2 - x^2 + 8x - 15 = x^2 - 10x + 25$

$2x^2 + 8x - 15 = x^2 - 10x + 25$

$x^2 + 18x - 40 = 0$

По теореме Виета: $x_1+x_2=-18$, $x_1 \cdot x_2=-40$. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -20$.

Оба корня (2 и -20) удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0, x \neq 5$).

Ответ: $2; -20$.

6)

Исходное уравнение: $\frac{x-20}{x^2+10x} + \frac{10}{x^2-100} - \frac{5}{x^2-10x} = 0$.

Преобразуем знаменатели: $\frac{x-20}{x(x+10)} + \frac{10}{(x-10)(x+10)} - \frac{5}{x(x-10)} = 0$.

ОДЗ: $x \neq 0$, $x+10 \neq 0$, $x-10 \neq 0$. То есть $x \neq 0, x \neq -10, x \neq 10$.

Общий знаменатель: $x(x-10)(x+10)$. Умножим обе части на него:

$(x-10)(x-20) + 10x - 5(x+10) = 0$

$x^2 - 20x - 10x + 200 + 10x - 5x - 50 = 0$

$x^2 - 25x + 150 = 0$

По теореме Виета: $x_1+x_2=25$, $x_1 \cdot x_2=150$. Корни: $x_1 = 10$ и $x_2 = 15$.

Проверим корни по ОДЗ. Корень $x_1 = 10$ не удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 10$), это посторонний корень. Корень $x_2 = 15$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $15$.

789. При каком значении переменной:

1) сумма дробей $\frac{24}{x-2}$ и $\frac{16}{x+2}$ равна 3;

2) значение дроби $\frac{42}{x}$ на $\frac{1}{4}$ больше значения дроби $\frac{36}{x+20}$?

1) сумма дробей $ \frac{24}{x-2} $ и $ \frac{16}{x+2} $ равна 3;

Для решения задачи составим уравнение в соответствии с условием:

$ \frac{24}{x-2} + \frac{16}{x+2} = 3 $

Определим область допустимых значений (ОДЗ) переменной $x$. Знаменатели дробей не могут быть равны нулю, поэтому:

$ x-2 \neq 0 \implies x \neq 2 $

$ x+2 \neq 0 \implies x \neq -2 $

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $ (x-2)(x+2) $, который равен $ x^2 - 4 $:

$ \frac{24(x+2) + 16(x-2)}{(x-2)(x+2)} = 3 $

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:

$ \frac{24x + 48 + 16x - 32}{x^2 - 4} = 3 $

$ \frac{40x + 16}{x^2 - 4} = 3 $

Умножим обе части уравнения на знаменатель $ x^2 - 4 $, при условии, что он не равен нулю (что учтено в ОДЗ):

$ 40x + 16 = 3(x^2 - 4) $

$ 40x + 16 = 3x^2 - 12 $

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение вида $ ax^2+bx+c=0 $:

$ 3x^2 - 40x - 12 - 16 = 0 $

$ 3x^2 - 40x - 28 = 0 $

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $ D = b^2 - 4ac $:

$ D = (-40)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-28) = 1600 + 336 = 1936 $

Найдем корни уравнения по формуле $ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} $:

$ x_1 = \frac{-(-40) + \sqrt{1936}}{2 \cdot 3} = \frac{40 + 44}{6} = \frac{84}{6} = 14 $

$ x_2 = \frac{-(-40) - \sqrt{1936}}{2 \cdot 3} = \frac{40 - 44}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3} $

Оба найденных значения $x$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: при $ x = 14 $ и $ x = -\frac{2}{3} $.

2) значение дроби $ \frac{42}{x} $ на $ \frac{1}{4} $ больше значения дроби $ \frac{36}{x+20} $?

Условие "значение дроби А на С больше значения дроби В" можно записать как уравнение $ А - В = С $. Составим уравнение:

$ \frac{42}{x} - \frac{36}{x+20} = \frac{1}{4} $

Область допустимых значений (ОДЗ): $ x \neq 0 $ и $ x+20 \neq 0 $, откуда $ x \neq -20 $.

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на общий знаменатель $ 4x(x+20) $:

$ 42 \cdot 4(x+20) - 36 \cdot 4x = 1 \cdot x(x+20) $

Раскроем скобки:

$ 168(x+20) - 144x = x^2 + 20x $

$ 168x + 3360 - 144x = x^2 + 20x $

Упростим левую часть:

$ 24x + 3360 = x^2 + 20x $

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$ 0 = x^2 + 20x - 24x - 3360 $

$ x^2 - 4x - 3360 = 0 $

Решим уравнение через дискриминант $ D = b^2 - 4ac $:

$ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3360) = 16 + 13440 = 13456 $

Найдем корни уравнения:

$ x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{13456}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 116}{2} = \frac{120}{2} = 60 $

$ x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{13456}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 116}{2} = \frac{-112}{2} = -56 $

Оба корня ($60$ и $-56$) не равны $0$ или $-20$, следовательно, они удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: при $ x = 60 $ и $ x = -56 $.

790. При каком значении переменной:

1) значение дроби $\frac{30}{x+3}$ на $\frac{1}{2}$ меньше значения дроби $\frac{30}{x}$;

2) значение дроби $\frac{20}{x}$ на 9 больше значения дроби $\frac{20}{x+18}$?

1) значение дроби $\frac{30}{x+3}$ на $\frac{1}{2}$ меньше значения дроби $\frac{30}{x}$
Это условие можно записать в виде уравнения:
$\frac{30}{x} - \frac{30}{x+3} = \frac{1}{2}$
Область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$ определяется условиями, что знаменатели дробей не равны нулю: $x \neq 0$ и $x+3 \neq 0$, то есть $x \neq -3$.
Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю:
$\frac{30(x+3) - 30x}{x(x+3)} = \frac{1}{2}$
$\frac{30x + 90 - 30x}{x^2+3x} = \frac{1}{2}$
$\frac{90}{x^2+3x} = \frac{1}{2}$
Используя свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получаем:
$x^2+3x = 90 \cdot 2$
$x^2+3x = 180$
$x^2+3x-180=0$
Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-180) = 9 + 720 = 729$
$\sqrt{D} = 27$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 27}{2} = \frac{24}{2} = 12$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 27}{2} = \frac{-30}{2} = -15$
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: 12; -15.

2) значение дроби $\frac{20}{x}$ на 9 больше значения дроби $\frac{20}{x+18}$?
Это условие можно записать в виде уравнения:
$\frac{20}{x} - \frac{20}{x+18} = 9$
ОДЗ: $x \neq 0$ и $x+18 \neq 0$, то есть $x \neq -18$.
Приведем левую часть к общему знаменателю:
$\frac{20(x+18) - 20x}{x(x+18)} = 9$
$\frac{20x + 360 - 20x}{x^2+18x} = 9$
$\frac{360}{x^2+18x} = 9$
$9(x^2+18x) = 360$
$x^2+18x = \frac{360}{9}$
$x^2+18x = 40$
$x^2+18x-40=0$
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = -18$
$x_1 \cdot x_2 = -40$
Подбором находим корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -20$.
Проверка по дискриминанту:
$D = b^2 - 4ac = 18^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-40) = 324 + 160 = 484$
$\sqrt{D} = 22$
$x_1 = \frac{-18 + 22}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$x_2 = \frac{-18 - 22}{2} = \frac{-40}{2} = -20$
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: 2; -20.

791. Решите уравнение:

1) $ \frac{2x - 10}{x^3 + 1} + \frac{4}{x + 1} = \frac{5x - 1}{x^2 - x + 1}; $

2) $ \frac{6}{x^2 - 4x + 3} + \frac{5 - 2x}{x - 1} = \frac{3}{x - 3}; $

3) $ \frac{4x - 6}{x + 2} - \frac{x}{x + 1} = \frac{14}{x^2 + 3x + 2}; $

4) $ \frac{x}{x^2 - 4} - \frac{3x - 1}{x^2 + x - 6} = \frac{2}{x^2 + 5x + 6}; $

1) Исходное уравнение: $ \frac{2x-10}{x^3+1} + \frac{4}{x+1} = \frac{5x-1}{x^2-x+1} $.
Разложим знаменатель $x^3+1$ на множители, используя формулу суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$: $x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1)$.
Уравнение принимает вид: $ \frac{2x-10}{(x+1)(x^2-x+1)} + \frac{4}{x+1} = \frac{5x-1}{x^2-x+1} $.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, при которых знаменатели не равны нулю: $x+1 \neq 0$ и $x^2-x+1 \neq 0$.
Из первого условия получаем $x \neq -1$.
Квадратный трехчлен $x^2-x+1$ имеет дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3 < 0$, поэтому он не имеет действительных корней и не равен нулю ни при каком действительном $x$.
Следовательно, ОДЗ: $x \neq -1$.
Приведем все дроби к общему знаменателю $(x+1)(x^2-x+1)$: $ \frac{2x-10}{(x+1)(x^2-x+1)} + \frac{4(x^2-x+1)}{(x+1)(x^2-x+1)} = \frac{(5x-1)(x+1)}{(x+1)(x^2-x+1)} $.
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель, учитывая ОДЗ: $ 2x-10 + 4(x^2-x+1) = (5x-1)(x+1) $.
Раскроем скобки: $ 2x-10 + 4x^2-4x+4 = 5x^2+5x-x-1 $.
Приведем подобные слагаемые: $ 4x^2 - 2x - 6 = 5x^2 + 4x - 1 $.
Перенесем все члены в одну сторону: $ 5x^2 - 4x^2 + 4x + 2x - 1 + 6 = 0 $.
$ x^2 + 6x + 5 = 0 $.
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-6$, а произведение равно $5$. Корнями являются $x_1 = -1$ и $x_2 = -5$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq -1$).
Корень $x_1 = -1$ является посторонним, так как он не входит в ОДЗ.
Корень $x_2 = -5$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $-5$.

2) Исходное уравнение: $ \frac{6}{x^2-4x+3} + \frac{5-2x}{x-1} = \frac{3}{x-3} $.
Разложим на множители знаменатель $x^2-4x+3$. Корни уравнения $x^2-4x+3=0$ по теореме Виета равны $1$ и $3$. Следовательно, $x^2-4x+3 = (x-1)(x-3)$.
Уравнение принимает вид: $ \frac{6}{(x-1)(x-3)} + \frac{5-2x}{x-1} = \frac{3}{x-3} $.
ОДЗ: $x-1 \neq 0$ и $x-3 \neq 0$, то есть $x \neq 1$ и $x \neq 3$.
Общий знаменатель: $(x-1)(x-3)$.
Приведем дроби к общему знаменателю: $ \frac{6}{(x-1)(x-3)} + \frac{(5-2x)(x-3)}{(x-1)(x-3)} = \frac{3(x-1)}{(x-1)(x-3)} $.
Умножим обе части на $(x-1)(x-3)$, учитывая ОДЗ: $ 6 + (5-2x)(x-3) = 3(x-1) $.
Раскроем скобки: $ 6 + 5x - 15 - 2x^2 + 6x = 3x - 3 $.
Приведем подобные слагаемые: $ -2x^2 + 11x - 9 = 3x - 3 $.
Перенесем все члены в одну сторону: $ 2x^2 - 11x + 3x + 9 - 3 = 0 $.
$ 2x^2 - 8x + 6 = 0 $.
Разделим уравнение на $2$: $ x^2 - 4x + 3 = 0 $.
Корни этого уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 1$ и $x \neq 3$).
Оба корня, $x_1=1$ и $x_2=3$, являются посторонними.
Ответ: корней нет.

3) Исходное уравнение: $ \frac{4x-6}{x+2} - \frac{x}{x+1} = \frac{14}{x^2+3x+2} $.
Разложим на множители знаменатель $x^2+3x+2$. Корни уравнения $x^2+3x+2=0$ по теореме Виета равны $-1$ и $-2$. Следовательно, $x^2+3x+2 = (x+1)(x+2)$.
Уравнение принимает вид: $ \frac{4x-6}{x+2} - \frac{x}{x+1} = \frac{14}{(x+1)(x+2)} $.
ОДЗ: $x+1 \neq 0$ и $x+2 \neq 0$, то есть $x \neq -1$ и $x \neq -2$.
Общий знаменатель: $(x+1)(x+2)$.
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель, учитывая ОДЗ: $ (4x-6)(x+1) - x(x+2) = 14 $.
Раскроем скобки: $ (4x^2 + 4x - 6x - 6) - (x^2 + 2x) = 14 $.
$ 4x^2 - 2x - 6 - x^2 - 2x = 14 $.
Приведем подобные слагаемые: $ 3x^2 - 4x - 6 = 14 $.
$ 3x^2 - 4x - 20 = 0 $.
Решим квадратное уравнение через дискриминант: $ D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-20) = 16 + 240 = 256 = 16^2 $.
$ x_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{256}}{2 \cdot 3} = \frac{4 \pm 16}{6} $.
$ x_1 = \frac{4+16}{6} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3} $.
$ x_2 = \frac{4-16}{6} = \frac{-12}{6} = -2 $.
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq -1$ и $x \neq -2$).
Корень $x_1 = \frac{10}{3}$ удовлетворяет ОДЗ.
Корень $x_2 = -2$ является посторонним.
Ответ: $3\frac{1}{3}$.

4) Исходное уравнение: $ \frac{x}{x^2-4} - \frac{3x-1}{x^2+x-6} = \frac{2}{x^2+5x+6} $.
Разложим знаменатели на множители:
$x^2-4 = (x-2)(x+2)$.
$x^2+x-6 = (x-2)(x+3)$ (корни $2$ и $-3$).
$x^2+5x+6 = (x+2)(x+3)$ (корни $-2$ и $-3$).
Уравнение принимает вид: $ \frac{x}{(x-2)(x+2)} - \frac{3x-1}{(x-2)(x+3)} = \frac{2}{(x+2)(x+3)} $.
ОДЗ: $x-2 \neq 0$, $x+2 \neq 0$, $x+3 \neq 0$. То есть $x \neq 2$, $x \neq -2$, $x \neq -3$.
Общий знаменатель: $(x-2)(x+2)(x+3)$.
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель, учитывая ОДЗ: $ x(x+3) - (3x-1)(x+2) = 2(x-2) $.
Раскроем скобки: $ x^2+3x - (3x^2+6x-x-2) = 2x-4 $.
$ x^2+3x - (3x^2+5x-2) = 2x-4 $.
$ x^2+3x - 3x^2-5x+2 = 2x-4 $.
Приведем подобные слагаемые: $ -2x^2 - 2x + 2 = 2x - 4 $.
Перенесем все члены в одну сторону: $ 2x^2 + 2x + 2x - 2 - 4 = 0 $.
$ 2x^2 + 4x - 6 = 0 $.
Разделим уравнение на $2$: $ x^2 + 2x - 3 = 0 $.
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-2$, а произведение равно $-3$. Корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 2$, $x \neq -2$, $x \neq -3$).
Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет ОДЗ.
Корень $x_2 = -3$ является посторонним.
Ответ: $1$.

792. Решите уравнение:

1) $ \frac{3x+2}{x^2+2x+4} + \frac{x^2+39}{x^3-8} = \frac{5}{x-2} $

2) $ \frac{x}{x-1} + \frac{x+1}{x+3} = \frac{8}{x^2+2x-3} $

1) $\frac{3x+2}{x^2+2x+4} + \frac{x^2+39}{x^3-8} = \frac{5}{x-2}$

Первым шагом найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Для этого необходимо, чтобы знаменатели всех дробей не были равны нулю. Разложим знаменатель второй дроби $x^3-8$ на множители, используя формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$: $x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x-2)(x^2+2x+4)$.

Теперь уравнение можно переписать в виде: $\frac{3x+2}{x^2+2x+4} + \frac{x^2+39}{(x-2)(x^2+2x+4)} = \frac{5}{x-2}$

Определим условия ОДЗ: 1. $x-2 \neq 0$, что означает $x \neq 2$. 2. $x^2+2x+4 \neq 0$. Найдем дискриминант этого квадратного трехчлена: $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12$. Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$) и коэффициент при $x^2$ положительный, выражение $x^2+2x+4$ всегда больше нуля при любых действительных $x$. Следовательно, единственное ограничение для ОДЗ это $x \neq 2$.

Приведем все дроби к общему знаменателю, которым является $(x-2)(x^2+2x+4)$. Для этого домножим числитель и знаменатель первой дроби на множитель $(x-2)$, а третьей дроби — на $(x^2+2x+4)$: $\frac{(3x+2)(x-2)}{(x-2)(x^2+2x+4)} + \frac{x^2+39}{(x-2)(x^2+2x+4)} = \frac{5(x^2+2x+4)}{(x-2)(x^2+2x+4)}$

Поскольку в области допустимых значений знаменатели не равны нулю, мы можем отбросить их и приравнять числители: $(3x+2)(x-2) + x^2+39 = 5(x^2+2x+4)$

Раскроем скобки и упростим полученное выражение: $(3x^2 - 6x + 2x - 4) + x^2 + 39 = 5x^2 + 10x + 20$ $4x^2 - 4x + 35 = 5x^2 + 10x + 20$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $5x^2 - 4x^2 + 10x + 4x + 20 - 35 = 0$ $x^2 + 14x - 15 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета: сумма корней $x_1+x_2 = -14$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = -15$. Методом подбора находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -15$. В качестве альтернативы, можно использовать формулу корней через дискриминант: $D = 14^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 196 + 60 = 256 = 16^2$ $x = \frac{-14 \pm \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{-14 \pm 16}{2}$ $x_1 = \frac{-14+16}{2} = \frac{2}{2} = 1$ $x_2 = \frac{-14-16}{2} = \frac{-30}{2} = -15$

Проверим, соответствуют ли найденные корни ОДЗ ($x \neq 2$). Корень $x_1 = 1$ не равен 2, следовательно, он является решением. Корень $x_2 = -15$ не равен 2, следовательно, он также является решением.

Ответ: $1; -15$.

2) $\frac{x}{x-1} + \frac{x+1}{x+3} = \frac{8}{x^2+2x-3}$

Найдем ОДЗ уравнения. Для этого знаменатели дробей не должны обращаться в ноль. Разложим на множители знаменатель $x^2+2x-3$. Корнями уравнения $x^2+2x-3=0$ являются $x_1=1$ и $x_2=-3$ (по теореме Виета). Следовательно, $x^2+2x-3 = (x-1)(x+3)$.

Исходное уравнение можно записать так: $\frac{x}{x-1} + \frac{x+1}{x+3} = \frac{8}{(x-1)(x+3)}$

Условия ОДЗ: 1. $x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$. 2. $x+3 \neq 0 \implies x \neq -3$. Таким образом, ОДЗ: $x \neq 1$ и $x \neq -3$.

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(x-1)(x+3)$: $\frac{x(x+3)}{(x-1)(x+3)} + \frac{(x+1)(x-1)}{(x-1)(x+3)} = \frac{8}{(x-1)(x+3)}$

Учитывая ОДЗ, мы можем приравнять числители: $x(x+3) + (x+1)(x-1) = 8$

Раскроем скобки. Для второго слагаемого используем формулу разности квадратов: $x^2 + 3x + (x^2 - 1^2) = 8$ $x^2 + 3x + x^2 - 1 = 8$

Приведем подобные члены и перенесем все в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение: $2x^2 + 3x - 1 - 8 = 0$ $2x^2 + 3x - 9 = 0$

Решим полученное уравнение через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 9 + 72 = 81$ $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm 9}{4}$ $x_1 = \frac{-3+9}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1.5$ $x_2 = \frac{-3-9}{4} = \frac{-12}{4} = -3$

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 1$ и $x \neq -3$). Корень $x_1 = 1.5$ удовлетворяет ОДЗ, так как $1.5 \neq 1$ и $1.5 \neq -3$. Корень $x_2 = -3$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при $x=-3$ знаменатель дроби $\frac{x+1}{x+3}$ обращается в ноль. Следовательно, $x=-3$ — посторонний корень.

Ответ: $1.5$.

793. Решите уравнение методом замены переменной:

1) $(x^2 - 2)^2 - 8(x^2 - 2) + 7 = 0;$

2) $(x^2 + 5x)^2 - 2(x^2 + 5x) - 24 = 0;$

3) $(x^2 - 3x + 1)(x^2 - 3x + 3) = 3;$

4) $(x^2 + 2x + 2)(x^2 + 2x - 4) = -5.$

1) $(x^2 - 2)^2 - 8(x^2 - 2) + 7 = 0$

В данном уравнении повторяется выражение $(x^2 - 2)$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2 - 2$.

Тогда исходное уравнение примет вид:

$t^2 - 8t + 7 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно переменной $t$. По теореме Виета, сумма корней равна 8, а их произведение равно 7. Легко подобрать корни:

$t_1 = 1$

$t_2 = 7$

Теперь выполним обратную замену. Рассмотрим два случая:

1. Если $t = 1$, то $x^2 - 2 = 1$.

$x^2 = 3$

$x = \pm\sqrt{3}$

2. Если $t = 7$, то $x^2 - 2 = 7$.

$x^2 = 9$

$x = \pm\sqrt{9}$

$x = \pm3$

Таким образом, уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $-3; -\sqrt{3}; \sqrt{3}; 3$.

2) $(x^2 + 5x)^2 - 2(x^2 + 5x) - 24 = 0$

Введём новую переменную. Пусть $t = x^2 + 5x$.

Тогда уравнение можно переписать в виде:

$t^2 - 2t - 24 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 2, а произведение -24. Корни:

$t_1 = 6$

$t_2 = -4$

Выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$.

1. Если $t = 6$, то $x^2 + 5x = 6$.

$x^2 + 5x - 6 = 0$

По теореме Виета, $x_1 = 1$, $x_2 = -6$.

2. Если $t = -4$, то $x^2 + 5x = -4$.

$x^2 + 5x + 4 = 0$

По теореме Виета, $x_3 = -1$, $x_4 = -4$.

Уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $-6; -4; -1; 1$.

3) $(x^2 - 3x + 1)(x^2 - 3x + 3) = 3$

Заметим, что в обеих скобках есть одинаковая часть $x^2 - 3x$. Сделаем замену. Пусть $t = x^2 - 3x + 1$.

Тогда выражение во второй скобке можно представить как $x^2 - 3x + 3 = (x^2 - 3x + 1) + 2 = t + 2$.

Уравнение принимает вид:

$t(t + 2) = 3$

$t^2 + 2t - 3 = 0$

Найдём корни этого квадратного уравнения по теореме Виета: сумма корней -2, произведение -3. Корни:

$t_1 = 1$

$t_2 = -3$

Произведём обратную замену.

1. Если $t = 1$, то $x^2 - 3x + 1 = 1$.

$x^2 - 3x = 0$

$x(x - 3) = 0$

Отсюда $x_1 = 0$ или $x_2 = 3$.

2. Если $t = -3$, то $x^2 - 3x + 1 = -3$.

$x^2 - 3x + 4 = 0$

Найдём дискриминант этого уравнения: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7$.

Так как $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: $0; 3$.

4) $(x^2 + 2x + 2)(x^2 + 2x - 4) = -5$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2 + 2x$.

Тогда уравнение можно переписать следующим образом:

$(t + 2)(t - 4) = -5$

Раскроем скобки и приведём к стандартному виду квадратного уравнения:

$t^2 - 4t + 2t - 8 = -5$

$t^2 - 2t - 3 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 2, а произведение -3. Корни:

$t_1 = 3$

$t_2 = -1$

Выполним обратную замену.

1. Если $t = 3$, то $x^2 + 2x = 3$.

$x^2 + 2x - 3 = 0$

По теореме Виета, $x_1 = 1$, $x_2 = -3$.

2. Если $t = -1$, то $x^2 + 2x = -1$.

$x^2 + 2x + 1 = 0$

Это выражение является полным квадратом:

$(x + 1)^2 = 0$

$x + 1 = 0$

$x_3 = -1$

Уравнение имеет три корня.

Ответ: $-3; -1; 1$.

794. Решите уравнение методом замены переменной:

1) $(\frac{2x-1}{x})^2 - \frac{6(2x-1)}{x} + 5 = 0;$

2) $\frac{3x-1}{x+1} + \frac{x+1}{3x-1} = 3\frac{1}{3}.$

1) $(\frac{2x-1}{x})^2 - \frac{6(2x-1)}{x} + 5 = 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю, следовательно, $x \neq 0$.

Данное уравнение является квадратным относительно выражения

795. Решите уравнение:

1) $(x^2 - 6x)^2 + (x^2 - 6x) - 56 = 0;$

2) $(x^2 + 8x + 3)(x^2 + 8x + 5) = 63;$

3) $\frac{x^4}{(x - 2)^2} - \frac{4x^2}{x - 2} - 5 = 0;$

4) $\frac{x + 4}{x - 3} - \frac{x - 3}{x + 4} = \frac{3}{2}.$

1) $(x^2 - 6x)^2 + (x^2 - 6x) - 56 = 0$

Это уравнение является квадратным относительно выражения $x^2 - 6x$. Введем замену переменной. Пусть $t = x^2 - 6x$. Тогда исходное уравнение примет вид:

$t^2 + t - 56 = 0$

Это стандартное квадратное уравнение. Решим его относительно $t$ с помощью теоремы Виета или через дискриминант. Корни этого уравнения: $t_1 = 7$ и $t_2 = -8$, так как $7 \cdot (-8) = -56$ и $7 + (-8) = -1$.

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$.

Случай 1: $t = 7$

$x^2 - 6x = 7$

$x^2 - 6x - 7 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64$.

$x_{1,2} = \frac{-(-6) \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm 8}{2}$

$x_1 = \frac{6 + 8}{2} = \frac{14}{2} = 7$

$x_2 = \frac{6 - 8}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Случай 2: $t = -8$

$x^2 - 6x = -8$

$x^2 - 6x + 8 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4$.

$x_{3,4} = \frac{-(-6) \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm 2}{2}$

$x_3 = \frac{6 + 2}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$x_4 = \frac{6 - 2}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Таким образом, исходное уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $-1; 2; 4; 7$.

2) $(x^2 + 8x + 3)(x^2 + 8x + 5) = 63$

В этом уравнении также можно применить метод замены переменной. Пусть $t = x^2 + 8x$. Тогда уравнение можно переписать в виде:

$(t + 3)(t + 5) = 63$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$t^2 + 5t + 3t + 15 = 63$

$t^2 + 8t + 15 - 63 = 0$

$t^2 + 8t - 48 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $t$. Дискриминант $D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 64 + 192 = 256$.

$t_{1,2} = \frac{-8 \pm \sqrt{256}}{2} = \frac{-8 \pm 16}{2}$

$t_1 = \frac{-8 + 16}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$t_2 = \frac{-8 - 16}{2} = \frac{-24}{2} = -12$

Теперь выполним обратную замену.

Случай 1: $t = 4$

$x^2 + 8x = 4$

$x^2 + 8x - 4 = 0$

Дискриминант $D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 64 + 16 = 80$.

$x_{1,2} = \frac{-8 \pm \sqrt{80}}{2} = \frac{-8 \pm 4\sqrt{5}}{2} = -4 \pm 2\sqrt{5}$

Случай 2: $t = -12$

$x^2 + 8x = -12$

$x^2 + 8x + 12 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения $x_3 = -2$ и $x_4 = -6$.

Исходное уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $-6; -2; -4 - 2\sqrt{5}; -4 + 2\sqrt{5}$.

3) $\frac{x^4}{(x-2)^2} - \frac{4x^2}{x-2} - 5 = 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x - 2 \neq 0$, следовательно, $x \neq 2$.

Заметим, что $\frac{x^4}{(x-2)^2} = \left(\frac{x^2}{x-2}\right)^2$. Введем замену $t = \frac{x^2}{x-2}$. Уравнение примет вид:

$t^2 - 4t - 5 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $t_1 = 5$ и $t_2 = -1$.

Выполним обратную замену.

Случай 1: $t = 5$

$\frac{x^2}{x-2} = 5$

$x^2 = 5(x-2)$

$x^2 = 5x - 10$

$x^2 - 5x + 10 = 0$

Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 25 - 40 = -15$. Так как $D < 0$, в этом случае действительных корней нет.

Случай 2: $t = -1$

$\frac{x^2}{x-2} = -1$

$x^2 = -1(x-2)$

$x^2 = -x + 2$

$x^2 + x - 2 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 2$).

Ответ: $-2; 1$.

4) $\frac{x+4}{x-3} - \frac{x-3}{x+4} = \frac{3}{2}$

ОДЗ: $x - 3 \neq 0$ и $x + 4 \neq 0$, то есть $x \neq 3$ и $x \neq -4$.

Введем замену переменной. Пусть $t = \frac{x+4}{x-3}$. Тогда $\frac{x-3}{x+4} = \frac{1}{t}$. Уравнение принимает вид:

$t - \frac{1}{t} = \frac{3}{2}$

Умножим обе части уравнения на $2t$ (при условии $t \neq 0$, что выполняется, так как $x \neq -4$):

$2t^2 - 2 = 3t$

$2t^2 - 3t - 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$.

$t_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm 5}{4}$

$t_1 = \frac{3+5}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$t_2 = \frac{3-5}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

Выполним обратную замену.

Случай 1: $t = 2$

$\frac{x+4}{x-3} = 2$

$x+4 = 2(x-3)$

$x+4 = 2x - 6$

$x = 10$

Корень $x=10$ удовлетворяет ОДЗ.

Случай 2: $t = -\frac{1}{2}$

$\frac{x+4}{x-3} = -\frac{1}{2}$

$2(x+4) = -1(x-3)$

$2x + 8 = -x + 3$

$3x = -5$

$x = -\frac{5}{3}$

Корень $x = -\frac{5}{3}$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $-\frac{5}{3}; 10$.