Номер 793, страница 192 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 23. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 793, страница 192.

Условие.

793. Решите уравнение методом замены переменной:

1) $(x^2 - 2)^2 - 8(x^2 - 2) + 7 = 0;$

2) $(x^2 + 5x)^2 - 2(x^2 + 5x) - 24 = 0;$

3) $(x^2 - 3x + 1)(x^2 - 3x + 3) = 3;$

4) $(x^2 + 2x + 2)(x^2 + 2x - 4) = -5.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $(x^2 - 2)^2 - 8(x^2 - 2) + 7 = 0$

В данном уравнении повторяется выражение $(x^2 - 2)$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2 - 2$.

Тогда исходное уравнение примет вид:

$t^2 - 8t + 7 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно переменной $t$. По теореме Виета, сумма корней равна 8, а их произведение равно 7. Легко подобрать корни:

$t_1 = 1$

$t_2 = 7$

Теперь выполним обратную замену. Рассмотрим два случая:

1. Если $t = 1$, то $x^2 - 2 = 1$.

$x^2 = 3$

$x = \pm\sqrt{3}$

2. Если $t = 7$, то $x^2 - 2 = 7$.

$x^2 = 9$

$x = \pm\sqrt{9}$

$x = \pm3$

Таким образом, уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $-3; -\sqrt{3}; \sqrt{3}; 3$.

2) $(x^2 + 5x)^2 - 2(x^2 + 5x) - 24 = 0$

Введём новую переменную. Пусть $t = x^2 + 5x$.

Тогда уравнение можно переписать в виде:

$t^2 - 2t - 24 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 2, а произведение -24. Корни:

$t_1 = 6$

$t_2 = -4$

Выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$.

1. Если $t = 6$, то $x^2 + 5x = 6$.

$x^2 + 5x - 6 = 0$

По теореме Виета, $x_1 = 1$, $x_2 = -6$.

2. Если $t = -4$, то $x^2 + 5x = -4$.

$x^2 + 5x + 4 = 0$

По теореме Виета, $x_3 = -1$, $x_4 = -4$.

Уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $-6; -4; -1; 1$.

3) $(x^2 - 3x + 1)(x^2 - 3x + 3) = 3$

Заметим, что в обеих скобках есть одинаковая часть $x^2 - 3x$. Сделаем замену. Пусть $t = x^2 - 3x + 1$.

Тогда выражение во второй скобке можно представить как $x^2 - 3x + 3 = (x^2 - 3x + 1) + 2 = t + 2$.

Уравнение принимает вид:

$t(t + 2) = 3$

$t^2 + 2t - 3 = 0$

Найдём корни этого квадратного уравнения по теореме Виета: сумма корней -2, произведение -3. Корни:

$t_1 = 1$

$t_2 = -3$

Произведём обратную замену.

1. Если $t = 1$, то $x^2 - 3x + 1 = 1$.

$x^2 - 3x = 0$

$x(x - 3) = 0$

Отсюда $x_1 = 0$ или $x_2 = 3$.

2. Если $t = -3$, то $x^2 - 3x + 1 = -3$.

$x^2 - 3x + 4 = 0$

Найдём дискриминант этого уравнения: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7$.

Так как $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: $0; 3$.

4) $(x^2 + 2x + 2)(x^2 + 2x - 4) = -5$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2 + 2x$.

Тогда уравнение можно переписать следующим образом:

$(t + 2)(t - 4) = -5$

Раскроем скобки и приведём к стандартному виду квадратного уравнения:

$t^2 - 4t + 2t - 8 = -5$

$t^2 - 2t - 3 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 2, а произведение -3. Корни:

$t_1 = 3$

$t_2 = -1$

Выполним обратную замену.

1. Если $t = 3$, то $x^2 + 2x = 3$.

$x^2 + 2x - 3 = 0$

По теореме Виета, $x_1 = 1$, $x_2 = -3$.

2. Если $t = -1$, то $x^2 + 2x = -1$.

$x^2 + 2x + 1 = 0$

Это выражение является полным квадратом:

$(x + 1)^2 = 0$

$x + 1 = 0$

$x_3 = -1$

Уравнение имеет три корня.

Ответ: $-3; -1; 1$.