Номер 787, страница 191 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 23. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 787, страница 191.

Условие.

787. Найдите корни уравнения:

1) $\frac{10}{x + 2} + \frac{9}{x} = 1;$

2) $\frac{48}{14 - x} - \frac{48}{14 + x} = 1;$

3) $\frac{x - 1}{x + 2} + \frac{x}{x - 2} = \frac{8}{x^2 - 4};$

4) $\frac{x - 1}{x + 3} + \frac{x + 1}{x - 3} = \frac{2x + 18}{x^2 - 9};$

5) $\frac{4x - 10}{x - 1} + \frac{x + 6}{x + 1} = 4;$

6) $\frac{1}{x} - \frac{10}{x^2 - 5x} = \frac{3 - x}{x - 5};$

7) $\frac{4x}{x^2 + 4x + 4} - \frac{x - 2}{x^2 + 2x} = \frac{1}{x};$

8) $\frac{6}{x^2 - 36} - \frac{3}{x^2 - 6x} + \frac{x - 12}{x^2 + 6x} = 0;$

9) $\frac{x}{x + 7} + \frac{x + 7}{x - 7} = \frac{63 - 5x}{x^2 - 49};$

10) $\frac{4}{x^2 - 10x + 25} - \frac{1}{x + 5} = \frac{10}{x^2 - 25};$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Исходное уравнение: $\frac{10}{x+2} + \frac{9}{x} = 1$.
Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq -2$ и $x \neq 0$.
Приведем дроби к общему знаменателю $x(x+2)$: $\frac{10x}{x(x+2)} + \frac{9(x+2)}{x(x+2)} = 1$.
$10x + 9(x+2) = x(x+2)$ при условии, что $x(x+2) \neq 0$.
$10x + 9x + 18 = x^2 + 2x$.
$19x + 18 = x^2 + 2x$.
$x^2 + 2x - 19x - 18 = 0$.
$x^2 - 17x - 18 = 0$.
Решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета: $x_1 + x_2 = 17$, $x_1 \cdot x_2 = -18$. Корни уравнения: $x_1 = 18$, $x_2 = -1$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $18; -1$.

2) Исходное уравнение: $\frac{48}{14-x} - \frac{48}{14+x} = 1$.
ОДЗ: $14-x \neq 0$ и $14+x \neq 0$, то есть $x \neq 14$ и $x \neq -14$.
Общий знаменатель: $(14-x)(14+x) = 196 - x^2$.
$48(14+x) - 48(14-x) = 1 \cdot (14-x)(14+x)$.
$48 \cdot 14 + 48x - 48 \cdot 14 + 48x = 196 - x^2$.
$96x = 196 - x^2$.
$x^2 + 96x - 196 = 0$.
Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 96^2 - 4(1)(-196) = 9216 + 784 = 10000 = 100^2$.
$x_1 = \frac{-96 + 100}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
$x_2 = \frac{-96 - 100}{2} = \frac{-196}{2} = -98$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $2; -98$.

3) Исходное уравнение: $\frac{x-1}{x+2} + \frac{x}{x-2} = \frac{8}{x^2-4}$.
Знаменатель $x^2-4$ раскладывается как $(x-2)(x+2)$.
ОДЗ: $x \neq -2$ и $x \neq 2$.
Общий знаменатель: $(x+2)(x-2)$.
$(x-1)(x-2) + x(x+2) = 8$.
$x^2 - 2x - x + 2 + x^2 + 2x = 8$.
$2x^2 - x + 2 = 8$.
$2x^2 - x - 6 = 0$.
$D = (-1)^2 - 4(2)(-6) = 1 + 48 = 49 = 7^2$.
$x_1 = \frac{1+7}{4} = \frac{8}{4} = 2$.
$x_2 = \frac{1-7}{4} = \frac{-6}{4} = -1.5$.
Проверяем корни на соответствие ОДЗ. Корень $x_1=2$ не удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 2$), следовательно, является посторонним. Корень $x_2=-1.5$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $-1.5$.

4) Исходное уравнение: $\frac{x-1}{x+3} + \frac{x+1}{x-3} = \frac{2x+18}{x^2-9}$.
Знаменатель $x^2-9$ раскладывается как $(x-3)(x+3)$.
ОДЗ: $x \neq -3$ и $x \neq 3$.
Общий знаменатель: $(x+3)(x-3)$.
$(x-1)(x-3) + (x+1)(x+3) = 2x+18$.
$x^2 - 3x - x + 3 + x^2 + 3x + x + 3 = 2x+18$.
$2x^2 + 6 = 2x + 18$.
$2x^2 - 2x - 12 = 0$.
Разделим обе части на 2: $x^2 - x - 6 = 0$.
По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 1$, $x_1 \cdot x_2 = -6$. Корни: $x_1 = 3$, $x_2 = -2$.
Корень $x_1=3$ не удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 3$), значит, это посторонний корень. Корень $x_2=-2$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $-2$.

5) Исходное уравнение: $\frac{4x-10}{x-1} + \frac{x+6}{x+1} = 4$.
ОДЗ: $x \neq 1$ и $x \neq -1$.
Общий знаменатель: $(x-1)(x+1)$.
$(4x-10)(x+1) + (x+6)(x-1) = 4(x-1)(x+1)$.
$4x^2 + 4x - 10x - 10 + x^2 - x + 6x - 6 = 4(x^2 - 1)$.
$5x^2 - x - 16 = 4x^2 - 4$.
$x^2 - x - 12 = 0$.
По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 1$, $x_1 \cdot x_2 = -12$. Корни: $x_1 = 4$, $x_2 = -3$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $4; -3$.

6) Исходное уравнение: $\frac{1}{x} - \frac{10}{x^2-5x} = \frac{3-x}{x-5}$.
Знаменатель $x^2-5x$ раскладывается как $x(x-5)$.
ОДЗ: $x \neq 0$ и $x \neq 5$.
Общий знаменатель: $x(x-5)$.
$1(x-5) - 10 = (3-x)x$.
$x - 5 - 10 = 3x - x^2$.
$x - 15 = 3x - x^2$.
$x^2 - 2x - 15 = 0$.
По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 2$, $x_1 \cdot x_2 = -15$. Корни: $x_1 = 5$, $x_2 = -3$.
Корень $x_1=5$ не удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 5$), это посторонний корень. Корень $x_2=-3$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $-3$.

7) Исходное уравнение: $\frac{4x}{x^2+4x+4} - \frac{x-2}{x^2+2x} = \frac{1}{x}$.
Разложим знаменатели: $x^2+4x+4 = (x+2)^2$, $x^2+2x = x(x+2)$.
ОДЗ: $x \neq 0$ и $x \neq -2$.
Общий знаменатель: $x(x+2)^2$.
$4x \cdot x - (x-2)(x+2) = 1 \cdot (x+2)^2$.
$4x^2 - (x^2-4) = x^2 + 4x + 4$.
$3x^2 + 4 = x^2 + 4x + 4$.
$2x^2 - 4x = 0$.
$2x(x-2) = 0$.
Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$.
Корень $x_1=0$ не удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 0$), это посторонний корень. Корень $x_2=2$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $2$.

8) Исходное уравнение: $\frac{6}{x^2-36} - \frac{3}{x^2-6x} + \frac{x-12}{x^2+6x} = 0$.
Разложим знаменатели: $x^2-36=(x-6)(x+6)$, $x^2-6x=x(x-6)$, $x^2+6x=x(x+6)$.
ОДЗ: $x \neq 0$, $x \neq 6$, $x \neq -6$.
Общий знаменатель: $x(x-6)(x+6)$.
$6x - 3(x+6) + (x-12)(x-6) = 0$.
$6x - 3x - 18 + x^2 - 6x - 12x + 72 = 0$.
$x^2 - 15x + 54 = 0$.
По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 15$, $x_1 \cdot x_2 = 54$. Корни: $x_1 = 6$, $x_2 = 9$.
Корень $x_1=6$ не удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 6$), это посторонний корень. Корень $x_2=9$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $9$.

9) Исходное уравнение: $\frac{x}{x+7} + \frac{x+7}{x-7} = \frac{63-5x}{x^2-49}$.
Знаменатель $x^2-49$ раскладывается как $(x-7)(x+7)$.
ОДЗ: $x \neq -7$ и $x \neq 7$.
Общий знаменатель: $(x+7)(x-7)$.
$x(x-7) + (x+7)(x+7) = 63 - 5x$.
$x^2 - 7x + x^2 + 14x + 49 = 63 - 5x$.
$2x^2 + 7x + 49 = 63 - 5x$.
$2x^2 + 12x - 14 = 0$.
$x^2 + 6x - 7 = 0$.
По теореме Виета: $x_1 + x_2 = -6$, $x_1 \cdot x_2 = -7$. Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = -7$.
Корень $x_2=-7$ не удовлетворяет ОДЗ ($x \neq -7$), это посторонний корень. Корень $x_1=1$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $1$.

10) Исходное уравнение: $\frac{4}{x^2-10x+25} - \frac{1}{x+5} = \frac{10}{x^2-25}$.
Разложим знаменатели: $x^2-10x+25 = (x-5)^2$, $x^2-25 = (x-5)(x+5)$.
ОДЗ: $x \neq 5$ и $x \neq -5$.
Общий знаменатель: $(x-5)^2(x+5)$.
$4(x+5) - 1(x-5)^2 = 10(x-5)$.
$4x + 20 - (x^2 - 10x + 25) = 10x - 50$.
$4x + 20 - x^2 + 10x - 25 = 10x - 50$.
$-x^2 + 14x - 5 = 10x - 50$.
$-x^2 + 4x + 45 = 0$.
$x^2 - 4x - 45 = 0$.
По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 4$, $x_1 \cdot x_2 = -45$. Корни: $x_1 = 9$, $x_2 = -5$.
Корень $x_2=-5$ не удовлетворяет ОДЗ ($x \neq -5$), это посторонний корень. Корень $x_1=9$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $9$.