Номер 785, страница 191 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 23. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 785, страница 191.

Условие.

785. Решите уравнение:

1) $\frac{2y}{y-3} = \frac{3y+3}{y};$

2) $\frac{3x+4}{x-3} = \frac{2x-9}{x+1};$

3) $\frac{5x+2}{x-1} = \frac{4x+13}{x+7};$

4) $\frac{2x^2-3x+1}{x-1} = 3x-4.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\frac{2y}{y-3} = \frac{3y+3}{y}$

Данное уравнение является рациональным. Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, при которых знаменатели не равны нулю: $y-3 \neq 0$ и $y \neq 0$. Таким образом, ОДЗ: $y \neq 3$ и $y \neq 0$.

Для решения уравнения воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$2y \cdot y = (3y+3)(y-3)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$2y^2 = 3y^2 - 9y + 3y - 9$

Приведем подобные слагаемые:

$2y^2 = 3y^2 - 6y - 9$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$3y^2 - 2y^2 - 6y - 9 = 0$

$y^2 - 6y - 9 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью формулы корней через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 36 + 36 = 72$

Найдем корни:

$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{72}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{36 \cdot 2}}{2} = \frac{6 \pm 6\sqrt{2}}{2} = 3 \pm 3\sqrt{2}$

Получаем два корня: $y_1 = 3 + 3\sqrt{2}$ и $y_2 = 3 - 3\sqrt{2}$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ, так как они не равны 0 или 3.

Ответ: $3 - 3\sqrt{2}; 3 + 3\sqrt{2}$

2) $\frac{3x+4}{x-3} = \frac{2x-9}{x+1}$

ОДЗ: $x-3 \neq 0 \implies x \neq 3$ и $x+1 \neq 0 \implies x \neq -1$.

Применим правило пропорции:

$(3x+4)(x+1) = (2x-9)(x-3)$

Раскроем скобки в обеих частях:

$3x^2 + 3x + 4x + 4 = 2x^2 - 6x - 9x + 27$

Приведем подобные слагаемые:

$3x^2 + 7x + 4 = 2x^2 - 15x + 27$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:

$3x^2 - 2x^2 + 7x + 15x + 4 - 27 = 0$

$x^2 + 22x - 23 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-22$, а их произведение равно $-23$. Легко подобрать корни:

$x_1 = 1$, $x_2 = -23$

Проверим, что $1 + (-23) = -22$ и $1 \cdot (-23) = -23$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 3$ и $x \neq -1$).

Ответ: $-23; 1$

3) $\frac{5x+2}{x-1} = \frac{4x+13}{x+7}$

ОДЗ: $x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$ и $x+7 \neq 0 \implies x \neq -7$.

Воспользуемся перекрестным умножением:

$(5x+2)(x+7) = (4x+13)(x-1)$

Раскроем скобки:

$5x^2 + 35x + 2x + 14 = 4x^2 - 4x + 13x - 13$

Приведем подобные слагаемые:

$5x^2 + 37x + 14 = 4x^2 + 9x - 13$

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$5x^2 - 4x^2 + 37x - 9x + 14 + 13 = 0$

$x^2 + 28x + 27 = 0$

Решим уравнение по теореме Виета: сумма корней равна $-28$, произведение равно $27$.

Корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = -27$.

Проверим, что $(-1) + (-27) = -28$ и $(-1) \cdot (-27) = 27$.

Оба корня входят в ОДЗ ($x \neq 1$ и $x \neq -7$).

Ответ: $-27; -1$

4) $\frac{2x^2-3x+1}{x-1} = 3x-4$

ОДЗ: $x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$.

Умножим обе части уравнения на знаменатель $(x-1)$, чтобы избавиться от дроби:

$2x^2-3x+1 = (3x-4)(x-1)$

Раскроем скобки в правой части:

$2x^2-3x+1 = 3x^2 - 3x - 4x + 4$

Приведем подобные слагаемые:

$2x^2-3x+1 = 3x^2 - 7x + 4$

Перенесем все члены в одну сторону:

$3x^2 - 2x^2 - 7x + 3x + 4 - 1 = 0$

$x^2 - 4x + 3 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна $4$, а произведение равно $3$. Корни уравнения:

$x_1=1$, $x_2=3$

Теперь необходимо проверить корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 1$).

Корень $x_1 = 1$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому он является посторонним.

Корень $x_2 = 3$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $3$