Номер 783, страница 191 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 23. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям. Упражнения - номер 783, страница 191.

Условие.

783. Решите уравнение:

1) $\frac{x^2 - 9x + 18}{x^2 - 9} = 0;$

2) $\frac{3x^2 - 14x - 5}{3x^2 + x} = 0;$

3) $\frac{x^2 - 12x + 35}{x^2 - 10x + 25} = 0;$

4) $\frac{x^2 - 7x + 6}{x^2 + 2x - 3} = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Рациональная дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это можно записать в виде системы:
$ \begin{cases} x^2 - 9x + 18 = 0 \\ x^2 - 9 \neq 0 \end{cases} $
Решим первое уравнение (числитель):
$x^2 - 9x + 18 = 0$
Это квадратное уравнение. Найдем его корни по теореме Виета:
$x_1 + x_2 = 9$
$x_1 \cdot x_2 = 18$
Подбором находим корни: $x_1 = 3$, $x_2 = 6$.
Теперь решим второе условие (знаменатель):
$x^2 - 9 \neq 0$
$x^2 \neq 9$
$x \neq 3$ и $x \neq -3$.
Это область допустимых значений (ОДЗ).
Сравним полученные корни с ОДЗ. Корень $x = 3$ не удовлетворяет условию $x \neq 3$, поэтому он является посторонним. Корень $x = 6$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: 6

2) Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом отличен от нуля. Составим систему:
$ \begin{cases} 3x^2 - 14x - 5 = 0 \\ 3x^2 + x \neq 0 \end{cases} $
Решим уравнение для числителя:
$3x^2 - 14x - 5 = 0$
Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 196 + 60 = 256 = 16^2$
Найдем корни:
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 \pm 16}{2 \cdot 3} = \frac{14 \pm 16}{6}$
$x_1 = \frac{14 - 16}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$
$x_2 = \frac{14 + 16}{6} = \frac{30}{6} = 5$
Теперь найдем ОДЗ из условия, что знаменатель не равен нулю:
$3x^2 + x \neq 0$
$x(3x + 1) \neq 0$
Это означает, что $x \neq 0$ и $3x + 1 \neq 0$, откуда $x \neq -\frac{1}{3}$.
Сравниваем корни числителя с ОДЗ. Корень $x = -\frac{1}{3}$ не входит в ОДЗ, значит, это посторонний корень. Корень $x = 5$ входит в ОДЗ.
Ответ: 5

3) Уравнение имеет решение, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
$ \begin{cases} x^2 - 12x + 35 = 0 \\ x^2 - 10x + 25 \neq 0 \end{cases} $
Решим первое уравнение (числитель):
$x^2 - 12x + 35 = 0$
По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = 12$
$x_1 \cdot x_2 = 35$
Корни уравнения: $x_1 = 5$, $x_2 = 7$.
Теперь проверим ОДЗ (знаменатель):
$x^2 - 10x + 25 \neq 0$
Заметим, что это формула квадрата разности: $(x - 5)^2 \neq 0$
Следовательно, $x - 5 \neq 0$, то есть $x \neq 5$.
Корень $x = 5$, полученный из числителя, не удовлетворяет ОДЗ, поэтому он является посторонним. Корень $x = 7$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: 7

4) Дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю.
$ \begin{cases} x^2 - 7x + 6 = 0 \\ x^2 + 2x - 3 \neq 0 \end{cases} $
Найдем нули числителя:
$x^2 - 7x + 6 = 0$
По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = 7$
$x_1 \cdot x_2 = 6$
Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 6$.
Найдем ОДЗ, для этого решим уравнение $x^2 + 2x - 3 = 0$, чтобы найти недопустимые значения.
По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = -2$
$x_1 \cdot x_2 = -3$
Корни знаменателя: $x = 1$ и $x = -3$. Таким образом, ОДЗ: $x \neq 1$ и $x \neq -3$.
Сравниваем корни числителя с ОДЗ. Корень $x = 1$ является недопустимым значением. Корень $x = 6$ является допустимым.
Ответ: 6