Номер 778, страница 190 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 23. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 778, страница 190.

Условие.

778. Решите уравнение:

1) $\frac{x^2 - 5x - 6}{x - 6} = 0;$

2) $\frac{4x^2 - 7x - 2}{x - 2} = 0;$

3) $\frac{2x^2 + 6}{x + 8} = \frac{13x}{x + 8};$

4) $\frac{x^2 + 4x}{x + 7} = \frac{5x + 56}{x + 7};$

5) $\frac{x^2 + 12x}{x + 4} - \frac{5x - 12}{x + 4} = 0;$

6) $\frac{x^2 - 3x}{x + 6} = 6;$

7) $\frac{2 - 33y}{y - 4} = 7y;$

8) $y - \frac{39}{y} = 10.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Данное уравнение $\frac{x^2 - 5x - 6}{x - 6} = 0$ является дробно-рациональным. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Найдем область допустимых значений (ОДЗ), при которых знаменатель не равен нулю: $x - 6 \neq 0$, то есть $x \neq 6$. Далее приравняем числитель к нулю и решим полученное квадратное уравнение: $x^2 - 5x - 6 = 0$. Воспользуемся теоремой Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = 5$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = -6$. Отсюда корни $x_1 = 6$ и $x_2 = -1$. Сравним полученные корни с ОДЗ. Корень $x_1 = 6$ не удовлетворяет условию $x \neq 6$, поэтому является посторонним. Корень $x_2 = -1$ удовлетворяет ОДЗ. Таким образом, решением уравнения является $x = -1$.
Ответ: $-1$.

2) В уравнении $\frac{4x^2 - 7x - 2}{x - 2} = 0$ дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. ОДЗ: $x - 2 \neq 0$, следовательно $x \neq 2$. Приравняем числитель к нулю: $4x^2 - 7x - 2 = 0$. Решим это квадратное уравнение через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-2) = 49 + 32 = 81 = 9^2$. Найдем корни: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 9}{2 \cdot 4} = \frac{16}{8} = 2$. $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 9}{2 \cdot 4} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}$. Проверим корни по ОДЗ. Корень $x_1 = 2$ не удовлетворяет условию $x \neq 2$, значит, это посторонний корень. Корень $x_2 = -\frac{1}{4}$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $-0,25$.

3) Дано уравнение $\frac{2x^2 + 6}{x + 8} = \frac{13x}{x + 8}$. ОДЗ: знаменатель не должен быть равен нулю, $x + 8 \neq 0$, то есть $x \neq -8$. Поскольку знаменатели дробей одинаковы, мы можем приравнять их числители: $2x^2 + 6 = 13x$. Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $2x^2 - 13x + 6 = 0$. Решим его через дискриминант: $D = (-13)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 169 - 48 = 121 = 11^2$. Найдем корни: $x_1 = \frac{13 + 11}{2 \cdot 2} = \frac{24}{4} = 6$. $x_2 = \frac{13 - 11}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0,5$. Оба корня, $6$ и $0,5$, удовлетворяют ОДЗ ($x \neq -8$).
Ответ: $6; 0,5$.

4) Дано уравнение $\frac{x^2 + 4x}{x + 7} = \frac{5x + 56}{x + 7}$. ОДЗ: $x + 7 \neq 0$, откуда $x \neq -7$. Приравниваем числители, так как знаменатели равны: $x^2 + 4x = 5x + 56$. Приведем к стандартному виду: $x^2 + 4x - 5x - 56 = 0$, $x^2 - x - 56 = 0$. По теореме Виета, $x_1 + x_2 = 1$ и $x_1 \cdot x_2 = -56$. Корни: $x_1 = 8$ и $x_2 = -7$. Проверяем корни по ОДЗ. Корень $x_2 = -7$ является посторонним. Корень $x_1 = 8$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $8$.

5) В уравнении $\frac{x^2 + 12x}{x + 4} - \frac{5x - 12}{x + 4} = 0$ приведем дроби к общему знаменателю: $\frac{(x^2 + 12x) - (5x - 12)}{x + 4} = 0$. Раскроем скобки в числителе: $\frac{x^2 + 12x - 5x + 12}{x + 4} = 0$, $\frac{x^2 + 7x + 12}{x + 4} = 0$. ОДЗ: $x + 4 \neq 0$, то есть $x \neq -4$. Приравняем числитель к нулю: $x^2 + 7x + 12 = 0$. По теореме Виета, $x_1 + x_2 = -7$ и $x_1 \cdot x_2 = 12$. Корни: $x_1 = -3$ и $x_2 = -4$. Корень $x_2 = -4$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому является посторонним. Корень $x_1 = -3$ подходит.
Ответ: $-3$.

6) Дано уравнение $\frac{x^2 - 3x}{x + 6} = 6$. ОДЗ: $x + 6 \neq 0$, то есть $x \neq -6$. Умножим обе части уравнения на знаменатель $(x+6)$: $x^2 - 3x = 6(x + 6)$. $x^2 - 3x = 6x + 36$. Перенесем все в левую часть: $x^2 - 3x - 6x - 36 = 0$, $x^2 - 9x - 36 = 0$. По теореме Виета, $x_1 + x_2 = 9$ и $x_1 \cdot x_2 = -36$. Корни: $x_1 = 12$ и $x_2 = -3$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq -6$).
Ответ: $12; -3$.

7) Дано уравнение $\frac{2 - 33y}{y - 4} = 7y$. ОДЗ: $y - 4 \neq 0$, то есть $y \neq 4$. Умножим обе части на $(y-4)$: $2 - 33y = 7y(y - 4)$. $2 - 33y = 7y^2 - 28y$. Приведем к стандартному квадратному уравнению: $7y^2 - 28y + 33y - 2 = 0$, $7y^2 + 5y - 2 = 0$. Решим через дискриминант: $D = 5^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-2) = 25 + 56 = 81 = 9^2$. Найдем корни: $y_1 = \frac{-5 + 9}{2 \cdot 7} = \frac{4}{14} = \frac{2}{7}$. $y_2 = \frac{-5 - 9}{2 \cdot 7} = \frac{-14}{14} = -1$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($y \neq 4$).
Ответ: $\frac{2}{7}; -1$.

8) Дано уравнение $y - \frac{39}{y} = 10$. ОДЗ: $y \neq 0$. Умножим все члены уравнения на $y$, чтобы избавиться от знаменателя: $y \cdot y - \frac{39}{y} \cdot y = 10 \cdot y$. $y^2 - 39 = 10y$. Перенесем все в левую часть: $y^2 - 10y - 39 = 0$. По теореме Виета, $y_1 + y_2 = 10$ и $y_1 \cdot y_2 = -39$. Корни: $y_1 = 13$ и $y_2 = -3$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($y \neq 0$).
Ответ: $13; -3$.