Номер 1, страница 190 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 23. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 1, страница 190.

Условие.

Какое уравнение называют биквадратным?

Решение 2.

Решение 8.

Биквадратным уравнением называют уравнение вида $ax^4 + bx^2 + c = 0$, где $x$ — переменная, а $a, b, c$ — некоторые числовые коэффициенты, причём старший коэффициент $a \neq 0$.

Название «биквадратное» (от лат. bi — дважды) указывает на то, что переменная в уравнении возведена в четвертую (дважды вторую) и вторую степени. Это частный случай полиномиального уравнения четвёртой степени, в котором отсутствуют члены с нечётными степенями переменной ($x^3$ и $x$).

Метод решения
Для решения биквадратного уравнения используется метод замены переменной, который позволяет свести его к обычному квадратному уравнению. Алгоритм решения следующий:
1. Ввести новую переменную. Пусть $t = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа является неотрицательным, то для новой переменной должно выполняться условие $t \geq 0$.
2. Подставить новую переменную в исходное уравнение. Уравнение $ax^4 + bx^2 + c = 0$ примет вид $a(x^2)^2 + bx^2 + c = 0$, что после замены превращается в квадратное уравнение относительно $t$: $at^2 + bt + c = 0$.
3. Решить полученное квадратное уравнение для $t$ (например, через дискриминант или по теореме Виета) и найти его корни $t_1$ и $t_2$.
4. Проверить найденные корни $t_1$ и $t_2$ на соответствие условию $t \geq 0$. Отрицательные корни отбрасываются, так как уравнение $x^2 = t$ не будет иметь действительных решений при $t < 0$.
5. Для каждого неотрицательного корня $t$ выполнить обратную замену, то есть решить уравнение вида $x^2 = t$. Решениями будут $x = \pm\sqrt{t}$. В результате биквадратное уравнение может иметь от нуля до четырёх действительных корней.

Пример решения
Решим уравнение $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$.
1. Введём замену: $t = x^2$, где $t \geq 0$.
2. Получим квадратное уравнение: $t^2 - 5t + 4 = 0$.
3. Найдём его корни. По теореме Виета: $t_1 + t_2 = 5$ и $t_1 \cdot t_2 = 4$. Легко подобрать корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 4$.
4. Оба корня, $1$ и $4$, являются положительными, значит, оба подходят.
5. Выполним обратную замену:
- для $t_1 = 1$: $x^2 = 1 \implies x = \pm\sqrt{1} \implies x_{1,2} = \pm 1$.
- для $t_2 = 4$: $x^2 = 4 \implies x = \pm\sqrt{4} \implies x_{3,4} = \pm 2$.
Корни исходного уравнения: $-2, -1, 1, 2$.

Ответ: Биквадратное уравнение — это уравнение вида $ax^4 + bx^2 + c = 0$, где $a \neq 0$. Оно решается методом введения новой переменной ($t = x^2$), что сводит его к квадратному уравнению $at^2 + bt + c = 0$.